Упр.11.30 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}1+x^2, & \text{если } x\leq 0;\\ h(x), & \text{если } x>0.\end{cases}$$ Задайте, если это возможно, $$h(x)$$ так, чтобы функция $$y=f(x)$$: 1) являлась чётной; 2) являлась нечётной.

Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} 1+x^2, & x\le 0,\\ h(x), & x>0. \end{cases}$$

Чтобы функция была чётной, должно выполняться равенство $$f(-x)=f(x)$$ для всех $$x$$ из области определения.

Если $$x>0$$, то $$-x\le 0$$, значит

$$f(-x)=1+(-x)^2=1+x^2.$$

Следовательно, при $$x>0$$ нужно положить

$$h(x)=1+x^2.$$

Тогда функция будет чётной.

Чтобы функция была нечётной, должно выполняться равенство $$f(-x)=-f(x)$$ для всех $$x$$.

Если $$x>0$$, то снова $$f(-x)=1+x^2$$, а значит

$$f(x)=-(1+x^2)=-1-x^2.$$

Следовательно, при $$x>0$$ нужно положить

$$h(x)=-1-x^2.$$

Тогда функция будет нечётной.

Ответ

1) $$h(x)=1+x^2.$$

2) $$h(x)=-1-x^2.$$