Упр.10 Вариант 1 Контрольная работа 3 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
f(x) = система
|x|, если х < 2;
-(x-3)2 + 3,если х >= 2.
а) Постройте график функции у = f(x);
б) укажите число корней уравнения f(x) = р, где р — любое действительное число.
Функция задана по частям:
$$ f(x)= \begin{cases} |x|, & x<2,\\ -(x-3)^2+3, & x\ge 2. \end{cases} $$
1) При $$x<2$$ строим график функции $$y=|x|$$. Это V-образный график с вершиной в точке $$\left(0,0\right)$$. Для части графика, где $$x<2$$, берём только левую ветвь и точку $$\left(2,2\right)$$ не включаем.
2) При $$x\ge 2$$ строим параболу $$y=-(x-3)^2+3$$. Её вершина — точка $$\left(3,3\right)$$, ветви направлены вниз. Для этой части графика точка $$\left(2,2\right)$$ входит в график, так как $$2\ge 2$$.
Итак, график функции состоит из левой части графика модуля при $$x<2$$ и правой части параболы при $$x\ge 2$$.
б) Рассмотрим число решений уравнения $$f(x)=p$$, то есть число точек пересечения графика с прямой $$y=p$$.
Для части $$y=|x|$$ при $$x<2$$ значения функции лежат в промежутке $$[0,2)$$. Для части $$y=-(x-3)^2+3$$ при $$x\ge 2$$ значения лежат в промежутке $$(-\infty,3]$$.
По графику получаем:
- при $$p>3$$ корней нет;
- при $$p=3$$ один корень;
- при $$2<p<3$$ два корня;
- при $$p=2$$ два корня;
- при $$0<p<2$$ три корня;
- при $$p=0$$ два корня;
- при $$p<0$$ один корень.
Следовательно, число корней уравнения $$f(x)=p$$ зависит от значения $$p$$ так, как указано выше.
Ответ
а) График состоит из части графика $$y=|x|$$ при $$x<2$$ и части параболы $$y=-(x-3)^2+3$$ при $$x\ge 2$$.
б) $$0$$ корней при $$p>3$$; $$1$$ корень при $$p=3$$ и при $$p<0$$; $$2$$ корня при $$p=2$$ и при $$p=0$$; $$3$$ корня при $$0<p<2$$ и при $$2<p<3$$.
