Упр.10 Вариант 2 Контрольная работа 3 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}(x+4)^2+2, & \text{если } x<-3;\\ |x|, & \text{если } x\geqslant -3.\end{cases}$$
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$;
б) укажите число корней уравнения $$f(x)=p$$, где $$p$$ — любое действительное число.
Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} (x+4)^2+2, & x<-3,\\ |x|, & x\ge -3. \end{cases}$$
1) Построим график каждой части.
Для $$y=(x+4)^2+2$$ при $$x<-3$$ получаем ветвь параболы, направленную вверх. Удобные точки:
$$x=-3,\ y=3;\quad x=-4,\ y=2;\quad x=-5,\ y=3;\quad x=-7,\ y=11.$$
Для $$y=|x|$$ при $$x\ge -3$$ получаем график модуля. Удобные точки:
$$x=-3,\ y=3;\quad x=0,\ y=0;\quad x=2,\ y=2.$$
В точке $$x=-3$$ обе части дают значение $$3$$, значит графики состыковываются в точке $$(-3;3)$$.
2) Найдём число корней уравнения $$f(x)=p$$ в зависимости от значения $$p$$.
Для левой части $$y=(x+4)^2+2$$ при $$x<-3$$ значения функции: $$y>2$$, причём минимум равен $$2$$ в точке $$x=-4$$.
Для правой части $$y=|x|$$ при $$x\ge -3$$ значения: $$y\ge 0$$.
Теперь рассмотрим случаи:
- при $$p<0$$ корней нет;
- при $$p=0$$ один корень;
- при $$0<p<2$$ два корня;
- при $$p=2$$ три корня;
- при $$2<p<3$$ четыре корня;
- при $$p=3$$ три корня;
- при $$p>3$$ два корня.
Ответ
а) График состоит из ветви параболы $$y=(x+4)^2+2$$ при $$x<-3$$ и графика $$y=|x|$$ при $$x\ge -3$$, они соединяются в точке $$(-3;3)$$.
б) $$p<0$$ — 0 корней; $$p=0$$ — 1 корень; $$0<p<2$$ — 2 корня; $$p=2$$ — 3 корня; $$2<p<3$$ — 4 корня; $$p=3$$ — 3 корня; $$p>3$$ — 2 корня.
