Упр.10.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Представьте данную функцию в виде у = f(x + l) + m, опишите ее свойства и постройте график:

1. $$y=\frac{x+4}{x+2}=\frac{(x+2)+2}{x+2}=1+\frac{2}{x+2}$$
   Здесь $$f(x)=\frac{2}{x}$$, поэтому
   $$y=f(x+2)+1.$$
   Область определения:
   $$x\neq -2,$$
   то есть
   $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
   Так как функция $$\frac{2}{x}$$ убывает на каждом из промежутков своей области определения, то и данная функция убывает на
   $$(-\infty;-2)\ \text{и}\ (-2;+\infty).$$
   График — гипербола с асимптотами $$x=-2$$ и $$y=1$$.
2. $$y=\frac{2x-3}{x-2}=\frac{2(x-2)+1}{x-2}=2+\frac{1}{x-2}$$
   Здесь
   $$y=f(x-2)+2,\quad f(x)=\frac{1}{x}.$$
   Область определения:
   $$x\neq 2,$$
   то есть
   $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
   Функция убывает на
   $$(-\infty;2)\ \text{и}\ (2;+\infty).$$
   График — гипербола с асимптотами $$x=2$$ и $$y=2$$.
3. $$y=-\frac{x+3}{x-1}=-\frac{(x-1)+4}{x-1}=-1-\frac{4}{x-1}$$
   Здесь
   $$y=f(x-1)-1,\quad f(x)=-\frac{4}{x}.$$
   Область определения:
   $$x\neq 1,$$
   то есть
   $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
   Функция возрастает на
   $$(-\infty;1)\ \text{и}\ (1;+\infty).$$
   График — гипербола с асимптотами $$x=1$$ и $$y=-1$$.
4. $$y=\frac{5-x}{x-3}=\frac{-(x-3)+2}{x-3}=-1+\frac{2}{x-3}$$
   Здесь
   $$y=f(x-3)-1,\quad f(x)=\frac{2}{x}.$$
   Область определения:
   $$x\neq 3,$$
   то есть
   $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
   Функция убывает на
   $$(-\infty;3)\ \text{и}\ (3;+\infty).$$
   График — гипербола с асимптотами $$x=3$$ и $$y=-1$$.

Ответ

а) $$y=1+\frac{2}{x+2}$$, $$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$, функция убывает на каждом из промежутков области определения, асимптоты $$x=-2$$, $$y=1$$.
б) $$y=2+\frac{1}{x-2}$$, $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$, функция убывает на каждом из промежутков области определения, асимптоты $$x=2$$, $$y=2$$.
в) $$y=-1-\frac{4}{x-1}$$, $$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$, функция возрастает на каждом из промежутков области определения, асимптоты $$x=1$$, $$y=-1$$.
г) $$y=-1+\frac{2}{x-3}$$, $$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$, функция убывает на каждом из промежутков области определения, асимптоты $$x=3$$, $$y=-1$$.