Упр.10.18 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) y= x3+3x;
б) y= x4+3x, x>=0;
в) y= 2×3+x;
г) y=2×4+x, x>=0.
Докажем возрастание каждой функции по определению: если для любых $$x_1<x_2$$ выполняется $$f(x_1)<f(x_2),$$ то функция возрастает.
$$y=x^3+3x$$
Пусть $$x_1<x_2.$$ Тогда
$$x_1^3<x_2^3,\qquad 3x_1<3x_2.$$
Складывая неравенства, получаем
$$x_1^3+3x_1<x_2^3+3x_2,$$
то есть $$f(x_1)<f(x_2).$$ Следовательно, функция возрастает.
$$y=x^4+3x,\quad x\ge 0$$
Пусть $$x_1<x_2,$$ где $$x_1,x_2\ge 0.$$ Тогда
$$x_1^4<x_2^4,\qquad 3x_1<3x_2.$$
Складывая, получаем
$$x_1^4+3x_1<x_2^4+3x_2,$$
значит, функция возрастает на $$x\ge 0.$$
$$y=2x^3+x$$
Пусть $$x_1<x_2.$$ Тогда
$$x_1^3<x_2^3,\qquad 2x_1<2x_2.$$
Складывая неравенства, получаем
$$2x_1^3+x_1<2x_2^3+x_2,$$
то есть $$f(x_1)<f(x_2).$$ Следовательно, функция возрастает.
$$y=2x^4+x,\quad x\ge 0$$
Пусть $$x_1<x_2,$$ где $$x_1,x_2\ge 0.$$ Тогда
$$x_1^4<x_2^4,\qquad x_1<x_2.$$
Умножая первое неравенство на $$2$$ и складывая с вторым, получаем
$$2x_1^4+x_1<2x_2^4+x_2.$$
Значит, функция возрастает на $$x\ge 0.$$
Ответ
а) возрастает; б) возрастает на $$x\ge 0$$; в) возрастает; г) возрастает на $$x\ge 0$$.
