Упр.10.14 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

y= система
2/x, если x<0; корень x>=0.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} \dfrac{2}{x}, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0. \end{cases} $$

Построим график по частям.

1. При $$x<0$$ имеем график функции $$y=\dfrac{2}{x}$$ — ветвь гиперболы. Для построения удобно взять несколько точек:

   $$ \begin{array}{c|ccc} x & -1 & -2 & -4 \\ \hline y & -2 & -1 & -\dfrac12 \end{array} $$

2. При $$x\ge 0$$ имеем график функции $$y=\sqrt{x}$$ — ветвь параболы. Возьмём точки:

   $$ \begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 1 & \sqrt{2} & \sqrt{3} \end{array} $$

3. Объединяем обе части на одной координатной плоскости: слева от оси $$Oy$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{2}{x}$$, справа и в точке $$x=0$$ — график $$y=\sqrt{x}$$.

Теперь прочитаем свойства функции.

• Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
• На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция убывает, так как $$y=\dfrac{2}{x}$$ при $$x<0$$ убывает.
• На промежутке $$[0;+\infty)$$ функция возрастает, так как $$y=\sqrt{x}$$ возрастает.
• Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
• На промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$[0;+\infty)$$ функция непрерывна.
• Область значений: $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
• На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция выпукла вверх, на $$[0;+\infty)$$ — тоже выпукла вверх.

Ответ

$$ D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=(-\infty;+\infty). $$
Функция убывает на $$(-\infty;0)$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$, не ограничена, на указанных промежутках непрерывна и выпукла вверх.