Упр.1.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Найдите, при каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$\left(p+4\right)x^2+2px+2=0$$ имеет: а) один корень; б) два корня; в) хотя бы один корень.

Рассмотрим уравнение

$$(p+4)x^2+2px+2=0.$$

Квадратное уравнение имеет:

• один корень при $$D=0$$;
• два корня при $$D>0$$;
• хотя бы один корень при $$D\ge 0$$.

Найдём дискриминант:

$$D=(2p)^2-4(p+4)\cdot 2 =4p^2-8p-32.$$

Разделим на $$4$$:

$$p^2-2p-8.$$

Разложим на множители:

$$p^2-2p-8=(p-4)(p+2).$$

Теперь рассмотрим случаи.

1. Один корень:

   $$D=0 \iff (p-4)(p+2)=0,$$

   откуда

   $$p=4 \text{ или } p=-2.$$

2. Два корня:

   $$D>0 \iff (p-4)(p+2)>0,$$

   значит,

   $$p>4 \text{ или } p<-2.$$

3. Хотя бы один корень:

   $$D\ge 0 \iff (p-4)(p+2)\ge 0,$$

   значит,

   $$p\ge 4 \text{ или } p\le -2.$$

Ответ

а) $$p=-2,\;4$$;

б) $$p<-2$$ или $$p>4$$;

в) $$p\le -2$$ или $$p\ge 4$$.