Упр.1.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

(р + 4)x2 + 2рх + 2 = 0 имеет:
а) один корень; 6) два корня; в) хотя бы один корень.

Рассмотрим уравнение

$$ (p+4)x^2+2px+2=0. $$

Квадратное уравнение имеет:

• один корень при $$D=0$$;
• два корня при $$D>0$$;
• хотя бы один корень при $$D\ge 0$$.

Найдём дискриминант:

$$ D=(2p)^2-4(p+4)\cdot 2 =4p^2-8p-32. $$

Разделим на $$4$$:

$$ p^2-2p-8. $$

Разложим на множители:

$$ p^2-2p-8=(p-4)(p+2). $$

Теперь рассмотрим случаи.

1. Один корень:

   $$D=0 \iff (p-4)(p+2)=0,$$

   откуда

   $$p=4 \text{ или } p=-2.$$

2. Два корня:

   $$D>0 \iff (p-4)(p+2)>0,$$

   значит,

   $$p>4 \text{ или } p<-2.$$

3. Хотя бы один корень:

   $$D\ge 0 \iff (p-4)(p+2)\ge 0,$$

   значит,

   $$p\ge 4 \text{ или } p\le -2.$$

Ответ

а) $$p=-2,\;4$$;

б) $$p<-2$$ или $$p>4$$;

в) $$p\le -2$$ или $$p\ge 4$$.