Упр.1.15 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

3х2-2рх-р+6=0:
а) имеет два различных корня;
6) имеет один корень;
в) не имеет корней;
г) имеет хотя бы один корень?

Квадратное уравнение имеет:

• два различных корня при $$D>0$$;
• один корень при $$D=0$$;
• не имеет корней при $$D<0$$;
• хотя бы один корень при $$D\ge 0$$.

Рассмотрим уравнение

$$3x^2-2px-p+6=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-2p)^2-4\cdot 3\cdot(-p+6)=4p^2+12p-72.$$

Вынесем общий множитель:

$$D=4(p^2+3p-18)=4(p-3)(p+6).$$

Так как $$4>0$$, знак дискриминанта определяется выражением $$p^2+3p-18=(p-3)(p+6).$$

а) Два различных корня:

$$D>0 \iff (p-3)(p+6)>0.$$

Отсюда

$$p<-6 \text{ или } p>3.$$

б) Один корень:

$$D=0 \iff (p-3)(p+6)=0.$$

Значит,

$$p=-6 \text{ или } p=3.$$

в) Не имеет корней:

$$D<0 \iff (p-3)(p+6)<0.$$

Следовательно,

$$-6<p<3.$$

г) Имеет хотя бы один корень:

$$D\ge 0 \iff (p-3)(p+6)\ge 0.$$

Значит,

$$p\le -6 \text{ или } p\ge 3.$$

Ответ

а) $$p<-6$$ или $$p>3$$; б) $$p=-6$$ или $$p=3$$; в) $$-6<p<3$$; г) $$p\le -6$$ или $$p\ge 3$$.