Упр.9.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) 1/x < 1; 4) (2x-5)/(x^2-6x-7) < 1/(x-3); 2) 1/(x+2) < 3/(x-3); 5) 7/(x^2-5x+6)+9/(x-3) < -1; 3) (x-1)/x-(x+1)/(x-1) < 2; 6) 2/(3x+7) < 1/(x+3)-1/(x+1).

1. $$\frac{1}{x}<1$$ $$\frac{1-x}{x}<0$$ $$\frac{x-1}{x}>0$$
   Отсюда
   $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$
2. $$\frac{1}{x+2}<\frac{3}{x-3}$$ $$\frac{3(x+2)-(x-3)}{(x+2)(x-3)}>0$$
   $$\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}>0$$
   Критические точки: $$x=-\frac{9}{2},\,-2,\,3.$$
   Тогда
   $$x\in\left(-\frac{9}{2};-2\right)\cup(3;+\infty).$$
3. $$\frac{x-1}{x}-\frac{x+1}{x-1}<2$$ $$\frac{(x-1)^2-x(x+1)-2x(x-1)}{x(x-1)}<0$$ $$\frac{-2x^2-x+1}{x(x-1)}<0$$ $$\frac{(2x-1)(x+1)}{x(x-1)}>0$$
   Критические точки: $$x=-1,\,0,\,\frac12,\,1.$$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;-1)\cup\left(0;\frac12\right)\cup(1;+\infty).$$
4. $$\frac{2x-5}{x^2-6x-7}<\frac{1}{x-3}$$ $$\frac{(2x-5)(x-3)-(x^2-6x-7)}{(x+1)(x-3)(x-7)}<0$$ $$\frac{x^2-5x+22}{(x+1)(x-3)(x-7)}<0$$ Числитель $$x^2-5x+22$$ не имеет действительных корней, так как $$D=25-88=-63<0,$$ и он всегда положителен. Значит, $$\frac{1}{(x+1)(x-3)(x-7)}<0.$$ Отсюда $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;7).$$
5. $$\frac{7}{x^2-5x+6}+\frac{9}{x-3}<-1$$ $$\frac{7+9(x-2)+(x^2-5x+6)}{(x-2)(x-3)}<0$$ $$\frac{x^2+4x-5}{(x-2)(x-3)}<0$$ $$\frac{(x+5)(x-1)}{(x-2)(x-3)}<0$$ Критические точки: $$x=-5,\,1,\,2,\,3.$$ Тогда $$x\in(-5;1)\cup(2;3).$$
6. $$\frac{2}{3x+7}<\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+1}$$ $$\frac{2(x+3)(x+1)-(3x+7)(x+1)+(3x+7)(x+3)}{(3x+7)(x+3)(x+1)}<0$$ $$\frac{2(x^2+7x+10)}{(3x+7)(x+3)(x+1)}<0$$ $$\frac{(x+5)(x+2)}{(3x+7)(x+3)(x+1)}<0$$ Критические точки: $$x=-5,\,-3,\,-\frac73,\,-2,\,-1.$$ Следовательно, $$x\in(-\infty;-5)\cup\left(-3;-\frac73\right)\cup(-2;-1).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$;
2) $$x\in\left(-\frac{9}{2};-2\right)\cup(3;+\infty)$$;
3) $$x\in(-\infty;-1)\cup\left(0;\frac12\right)\cup(1;+\infty)$$;
4) $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;7)$$;
5) $$x\in(-5;1)\cup(2;3)$$;
6) $$x\in(-\infty;-5)\cup\left(-3;-\frac73\right)\cup(-2;-1)$$.