Упр.9.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) x/(x+2) < 0; 5) ((x-2)(x^2-1)(4x-5-3x^2))/(x+7) < 0;
2) ((3x-2)(4-x))/((x+3)(x-1)) > 0;
6) ((x^3-8)(x^2-6x-7))/((3x-2x^2-4)(3x^2-10x+3)) < 0;
3) ((x-2)(2x+1)^3)/((3-x)^4 (1-5x)^5) > 0;
7) (x^2+5x-6)/((x+2)(1-3x)) < 0;
4) (x^2-5x+7)/(-2x^2+3x+2) > 0;
8) ((x^4-3x^2)(x^4+x^3-8x-8))/((1-x)(x+2)) < 0.
$$\frac{x}{x+2}<0$$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
Подходит промежуток $$-2<x<0$$.
$$\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0$$
Перепишем:
$$\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)}<0$$
Критические точки: $$x=-3,\ \frac23,\ 1,\ 4$$.
Знак «минус» на промежутках $$(-3;\frac23)$$ и $$(1;4)$$.
$$\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5}>0$$
Так как степени $$4$$ и $$5$$, знак выражения определяется нечетными множителями:
$$\frac{(x-2)(2x+1)}{1-5x}>0,\qquad x\ne 3,\ x\ne \frac15$$
Удобно записать так:
$$\frac{(2x+1)(x-2)}{5x-1}<0$$
Критические точки: $$x=-\frac12,\ \frac15,\ 2$$, а также $$x\ne 3$$.
Получаем:
$$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right)$$
$$\frac{x^2-5x+7}{-2x^2+3x+2}>0$$
Числитель:
$$x^2-5x+7=0,\qquad D=25-28=-3<0$$
Значит, $$x^2-5x+7>0$$ при всех $$x$$.
Тогда нужно, чтобы знаменатель был отрицателен:
$$-2x^2+3x+2<0$$
$$2x^2-3x-2=0$$
$$D=9+16=25,\qquad x_1=-\frac12,\ x_2=2$$
Следовательно, $$-2x^2+3x+2<0$$ при $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(2;+\infty)$$.
$$\frac{(x-2)(x^2-1)(4x-5-3x^2)}{x+7}<0$$
Разложим на множители:
$$x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad 4x-5-3x^2=-(3x^2-4x+5)$$
Так как $$3x^2-4x+5>0$$ при всех $$x$$, знак выражения определяется дробью
$$\frac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+7}>0$$
Критические точки: $$x=-7,\ -1,\ 1,\ 2$$.
Подходит:
$$x\in(-\infty;-7)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty)$$
$$\frac{(x^3-8)(x^2-6x-7)}{(3x-2x^2-4)(3x^2-10x+3)}<0$$
Разложим на множители:
$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4),\qquad x^2-6x-7=(x-7)(x+1)$$
$$3x-2x^2-4=-(2x^2-3x+4)$$, а $$2x^2-3x+4>0$$ при всех $$x$$.
$$3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3)$$
Тогда неравенство сводится к
$$\frac{(x-2)(x-7)(x+1)}{(3x-1)(x-3)}>0$$
Критические точки: $$x=-1,\ \frac13,\ 2,\ 3,\ 7$$.
Получаем:
$$x\in\left(-1;\frac13\right)\cup(2;3)\cup(7;+\infty)$$
$$\frac{x^2+5x-6}{(x+2)(1-3x)}<0$$
Разложим числитель:
$$x^2+5x-6=(x+6)(x-1)$$
Тогда
$$\frac{(x+6)(x-1)}{(x+2)(3x-1)}>0$$
Критические точки: $$x=-6,\ -2,\ \frac13,\ 1$$.
Подходит:
$$x\in(-\infty;-6)\cup(-2;\frac13)\cup(1;+\infty)$$
$$\frac{(x^4-3x^2)(x^4+x^3-8x-8)}{(1-x)(x+2)}<0$$
Разложим на множители:
$$x^4-3x^2=x^2(x^2-3)=x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$$
$$x^4+x^3-8x-8=(x+1)(x^3-8)=(x+1)(x-2)(x^2+2x+4)$$
Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x$$, а $$1-x=-(x-1)$$, получаем
$$\frac{x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+2)}>0$$
Критические точки: $$x=-2,\ -\sqrt3,\ -1,\ 0,\ 1,\ \sqrt3,\ 2$$.
С учетом знаков множителей:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;-1)\cup(1;\sqrt3)\cup(2;+\infty)$$
Ответ
1) $$x\in(-2;0)$$;
2) $$x\in\left(-3;\frac23\right)\cup(1;4)$$;
3) $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right)$$;
4) $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(2;+\infty)$$;
5) $$x\in(-\infty;-7)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty)$$;
6) $$x\in\left(-1;\frac13\right)\cup(2;3)\cup(7;+\infty)$$;
7) $$x\in(-\infty;-6)\cup(-2;\frac13)\cup(1;+\infty)$$;
8) $$x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;-1)\cup(1;\sqrt3)\cup(2;+\infty)$$.
