Упр.9.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (x+3)/(x-1) > 0; 5) (x^3-x^2+x-1)/(x+8) < 0; 2) ((x-2)(x+1))/(x-4) < 0; 6) (x^4+x^2+1)/(x^2-4x-5) > 0;
3) ((2x+1)(x-3))/((2-x)(x-5)) < 0; 7) ((x-4)(x-3)(3x-7-x^2))/(x^2+x-2) > 0;
4) (x^3(x-1)^4 (x+5))/((x-8)(1-4x)) > 0; 8) (x^6+3x^4-x^2-3)/(x^3-64x) < 0.

1. $$\frac{x+3}{x-1}>0$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

   $$x+3>0,\ x-1>0 \Rightarrow x>1$$

   или

   $$x+3<0,\ x-1<0 \Rightarrow x<-3$$

   $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$

2. $$\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0$$

   Критические точки: $$x=-1,\ 2,\ 4$$.

   По знакам на промежутках получаем:

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(2;4)$$

3. $$\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)}<0$$

   Преобразуем знаменатель:

   $$2-x=-(x-2)$$

   Тогда

   $$\frac{(2x+1)(x-3)}{(x-2)(x-5)}>0$$

   Критические точки: $$x=-\frac12,\ 2,\ 3,\ 5$$.

   По знакам на промежутках:

   $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(2;3)\cup(5;+\infty)$$

4. $$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}>0$$

   Так как $$\,(x-1)^4\ge 0$$ и при $$x\ne 1$$ не влияет на знак, а
   $$1-4x=-(4x-1),$$ получаем:

   $$\frac{x^3(x+5)}{(x-8)(1-4x)}>0$$

   Критические точки: $$x=-5,\ 0,\ \frac14,\ 1,\ 8$$.

   По знакам:

   $$x\in(-5;0)\cup\left(\frac14;1\right)\cup(1;8)$$

5. $$\frac{x^3-x^2+x-1}{x+8}<0$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)$$

   Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$, имеем:

   $$\frac{x-1}{x+8}<0$$

   Дробь отрицательна, когда множители разных знаков:

   $$x\in(-8;1)$$

6. $$\frac{x^4+x^2+1}{x^2-4x-5}>0$$

   Числитель всегда положителен, так как

   $$x^4+x^2+1>0$$

   Значит, нужно решить:

   $$x^2-4x-5>0$$

   $$\left(x-5\right)\left(x+1\right)>0$$

   Отсюда:

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$$

7. $$\frac{(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)}{x^2+x-2}>0$$

   Разложим:

   $$3x-7-x^2=-(x^2-3x+7)$$

   У квадратного трёхчлена $$x^2-3x+7$$ дискриминант:

   $$D=9-28=-19<0$$

   Значит, $$x^2-3x+7>0$$ при всех $$x$$, и знак числителя определяется множителем $$-1$$:

   $$\frac{(x-4)(x-3)}{x^2+x-2}<0$$

   $$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$

   Получаем:

   $$\frac{(x-4)(x-3)}{(x+2)(x-1)}<0$$

   Критические точки: $$x=-2,\ 1,\ 3,\ 4$$.

   По знакам:

   $$x\in(-2;1)\cup(3;4)$$

8. $$\frac{x^6+3x^4-x^2-3}{x^3-64x}<0$$

   Разложим на множители:

   $$x^6+3x^4-x^2-3=(x^4-1)(x^2+3)=(x^2-1)(x^2+1)(x^2+3)$$

   $$x^3-64x=x(x^2-64)=x(x-8)(x+8)$$

   Так как $$x^2+1>0$$ и $$x^2+3>0$$, остаётся:

   $$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-8)(x+8)}<0$$

   Критические точки: $$x=-8,\ -1,\ 0,\ 1,\ 8$$.

   По знакам:

   $$x\in(-\infty;-8)\cup(-1;0)\cup(1;8)$$

Ответ

1. $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$
2. $$x\in(-\infty;-1)\cup(2;4)$$
3. $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(2;3)\cup(5;+\infty)$$
4. $$x\in(-5;0)\cup\left(\frac14;1\right)\cup(1;8)$$
5. $$x\in(-8;1)$$
6. $$x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$$
7. $$x\in(-2;1)\cup(3;4)$$
8. $$x\in(-\infty;-8)\cup(-1;0)\cup(1;8)$$