Упр.9.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1) < 0; 3) x^3-6x+5 > 0;
2) |x-3|(3x+2)^3 (3x^2-5x+6) > 0; 4) (x^2-4)(3x^2+7x+2) > 0.

Подробный ответ

$$ (4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1)<0 $$
Заметим, что $$x^4+x^2+1>0$$ при любом $$x$$, поэтому знак произведения определяется только множителями $$4-x$$ и $$3x+1$$:
$$ (4-x)(3x+1)<0 $$
Отсюда
$$ x<-\frac13 \quad \text{или} \quad x>4. $$
$$ |x-3|(3x+2)^3(3x^2-5x+6)>0 $$
Так как $$3x^2-5x+6>0$$ при любом $$x$$, а $$|x-3|>0$$ при $$x\ne 3$$, то нужно решить неравенство
$$ (3x+2)^3>0. $$
Так как куб сохраняет знак, получаем
$$ 3x+2>0 \quad \Rightarrow \quad x>-\frac23. $$
С учётом условий $$x\ne 3$$ и $$x\ne -\frac23$$:
$$ x\in\left(-\frac23;3\right)\cup(3;+\infty). $$
$$ x^3-6x+5>0 $$
Проверим корень $$x=1$$:
$$ 1^3-6\cdot1+5=0. $$
Тогда
$$ x^3-6x+5=(x-1)(x^2+x-5). $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ x^2+x-5=0, \qquad D=1+20=21. $$
$$ x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}. $$
Точки смены знака: $$\frac{-1-\sqrt{21}}{2},\ 1,\ \frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$ x\in\left(\frac{-1-\sqrt{21}}{2};1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{21}}{2};+\infty\right). $$
$$ (x^2-4)(3x^2+7x+2)>0 $$
Разложим на множители:
$$ x^2-4=(x-2)(x+2), $$
$$ 3x^2+7x+2=(3x+1)(x+2). $$
Тогда
$$ (x^2-4)(3x^2+7x+2)=(x-2)(x+2)^2(3x+1)>0. $$
Так как $$ (x+2)^2>0 $$ при $$x\ne -2$$, получаем
$$ (x-2)(3x+1)>0, \qquad x\ne -2. $$
Отсюда
$$ x<-\frac13 \quad \text{или} \quad x>2, $$
но точка $$x=-2$$ исключается.
Следовательно,
$$ x\in(-\infty;-2)\cup\left(-2;-\frac13\right)\cup(2;+\infty). $$