Упр.9.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$(4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1)<0$$; 3) $$x^3-6x+5>0$$;
   2) $$|x-3|(3x+2)^3(3x^2-5x+6)>0$$;
   4) $$(x^2-4)(3x^2+7x+2)>0$$.

1. $$(4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1)<0$$

   Заметим, что $$x^4+x^2+1>0$$ при любом $$x$$, поэтому знак произведения определяется только множителями $$4-x$$ и $$3x+1$$:

   $$(4-x)(3x+1)<0$$

   Отсюда

   $$x<-\frac13 \quad \text{или} \quad x>4.$$

2. $$|x-3|(3x+2)^3(3x^2-5x+6)>0$$

   Так как $$3x^2-5x+6>0$$ при любом $$x$$, а $$|x-3|>0$$ при $$x\ne 3$$, то нужно решить неравенство

   $$(3x+2)^3>0.$$

   Так как куб сохраняет знак, получаем

   $$3x+2>0 \quad \Rightarrow \quad x>-\frac23.$$

   С учётом условий $$x\ne 3$$ и $$x\ne -\frac23$$:

   $$x\in\left(-\frac23;3\right)\cup(3;+\infty).$$

3. $$x^3-6x+5>0$$

   Проверим корень $$x=1$$:

   $$1^3-6\cdot1+5=0.$$

   Тогда

   $$x^3-6x+5=(x-1)(x^2+x-5).$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$x^2+x-5=0, \qquad D=1+20=21.$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.$$

   Точки смены знака: $$\frac{-1-\sqrt{21}}{2},\ 1,\ \frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$$

   Так как старший коэффициент положительный, то

   $$x\in\left(\frac{-1-\sqrt{21}}{2};1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{21}}{2};+\infty\right).$$

4. $$(x^2-4)(3x^2+7x+2)>0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-4=(x-2)(x+2),$$

   $$3x^2+7x+2=(3x+1)(x+2).$$

   Тогда

   $$(x^2-4)(3x^2+7x+2)=(x-2)(x+2)^2(3x+1)>0.$$

   Так как $$(x+2)^2>0$$ при $$x\ne -2$$, получаем

   $$(x-2)(3x+1)>0, \qquad x\ne -2.$$

   Отсюда

   $$x<-\frac13 \quad \text{или} \quad x>2,$$

   но точка $$x=-2$$ исключается.

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;-2)\cup\left(-2;-\frac13\right)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-\frac13)\cup(4;+\infty)$$

2) $$x\in\left(-\frac23;3\right)\cup(3;+\infty)$$

3) $$x\in\left(\frac{-1-\sqrt{21}}{2};1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{21}}{2};+\infty\right)$$

4) $$x\in(-\infty;-2)\cup\left(-2;-\frac13\right)\cup(2;+\infty)$$