Упр.9.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) (2-x)(3x+5)(x^2-x+1) > 0;
2) (2x+1)^2 (x^2-4x+3) > 0;
3) (3x^2-5x-2)(2x^2+x+1) < 0;
4) 3x^3+2x^2-x < 0;
5) x^3-2x^2-x+2 > 0;
6) (2x^2+5x-3)(2x^2-5x+2) > 0.
$$ (2-x)(3x+5)(x^2-x+1)>0 $$
Преобразуем:
$$ (2-x)=-(x-2), \quad (3x+5)=3\left(x+\frac53\right) $$
Квадратный трёхчлен $$x^2-x+1$$ не имеет действительных корней, так как
$$ D=1-4=-3<0, $$
значит, $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x$$.
Тогда неравенство равносильно
$$ (2-x)(3x+5)>0 \iff (x-2)(3x+5)<0. $$
Отсюда
$$ -\frac53
$$ (2x+1)^2(x^2-4x+3)>0 $$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). $$
Так как $$ (2x+1)^2\ge 0 $$ и обращается в нуль при $$x=-\frac12$$, то для строгого неравенства нужно:
$$ (2x+1)^2>0,\quad (x-1)(x-3)>0. $$
Получаем
$$ x\ne -\frac12,\quad x<1 \ \text{или}\ x>3. $$
С учётом исключения точки $$x=-\frac12$$:
$$ x\in(-\infty;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;1)\cup(3;+\infty). $$
$$ (3x^2-5x-2)(2x^2+x+1)<0 $$
Разложим первый множитель:
$$ 3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2). $$
Второй множитель корней не имеет, так как
$$ D=1-8=-7<0, $$
и при всех $$x$$ выполняется $$2x^2+x+1>0$$.
Значит, нужно решить
$$ (3x+1)(x-2)<0. $$
Отсюда
$$ -\frac13
$$ 3x^3+2x^2-x<0 $$
Вынесем $$x$$ за скобки:
$$ x(3x^2+2x-1)<0. $$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$ 3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1). $$
Тогда
$$ x(x+1)(3x-1)<0. $$
Нули: $$x=-1,\ 0,\ \frac13.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$ x\in(-\infty;-1)\cup(0;\tfrac13). $$
$$ x^3-2x^2-x+2>0 $$
Сгруппируем слагаемые:
$$ x^2(x-2)-1(x-2)>0 $$
$$ (x^2-1)(x-2)>0 $$
$$ (x-1)(x+1)(x-2)>0. $$
Нули: $$x=-1,\ 1,\ 2.$$
По знакам на промежутках:
$$ x\in(-1;1)\cup(2;+\infty). $$
$$ (2x^2+5x-3)(2x^2-5x+2)>0 $$
Разложим на множители:
$$ 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3), $$
$$ 2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2). $$
Тогда
$$ (2x-1)^2(x+3)(x-2)>0. $$
Так как $$ (2x-1)^2\ge 0 $$, то нужно решить
$$ (x+3)(x-2)>0, \quad x\ne \frac12. $$
Отсюда
$$ x< -3 \ \text{или}\ x>2, $$
и точка $$x=\frac12$$ сюда не попадает.
Ответ
1) $$x\in\left(-\frac53;2\right)$$;
2) $$x\in(-\infty;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;1)\cup(3;+\infty)$$;
3) $$x\in\left(-\frac13;2\right)$$;
4) $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;\tfrac13)$$;
5) $$x\in(-1;1)\cup(2;+\infty)$$;
6) $$x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$.
