Упр.9.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) x^2 (x+1)(x-4) > 0;
2) (1-2x)(x-3)^9 (2x+7)^6 (x+4)(x-2)^2 > 0.

1. $$x^2(x+1)(x-4)>0$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, а при $$x=0$$ левая часть равна нулю, то достаточно рассмотреть неравенство

   $$ (x+1)(x-4)>0,\quad x\ne 0.$$

   Произведение двух линейных множителей положительно, когда оба множителя одного знака:

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>4.$$

   Точка $$x=0$$ в найденные промежутки не входит.

2. $$ (1-2x)(x-3)^9(2x+7)^6(x+4)(x-2)^2>0$$

   Чётные степени не меняют знак, поэтому $$ (2x+7)^6>0$$ при $$x\ne -\frac72$$ и $$ (x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2$$. Также

   $$ (x-3)^9$$ имеет знак выражения $$x-3$$.

   Тогда неравенство равносильно

   $$ (1-2x)(x-3)(x+4)>0,\quad x\ne -\frac72,\ x\ne 2.$$

   Преобразуем первый множитель:

   $$1-2x=-(2x-1),$$

   поэтому

   $$-(2x-1)(x-3)(x+4)>0,$$

   или

   $$ (2x-1)(x-3)(x+4)<0.$$

   Нули: $$x=-4,\ \frac12,\ 3.$$ По знакам произведение отрицательно на промежутках

   $$(-\infty,-4)\cup\left(\frac12,3\right).$$

   Исключаем точки $$x=-\frac72$$ и $$x=2$$, так как в исходном выражении они обращают его в нуль.

   Получаем

   $$(-\infty,-4)\cup\left(\frac12,2\right)\cup(2,3).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-1)\cup(4;+\infty).$$

2) $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;2\right)\cup(2;3).$$