Упр.9.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 9.32. Решите уравнение [x]{x}-3{x}=6-x.

Обозначим $$[x]=n,\quad \{x\}=x-n,$$ где $$n\in \mathbb{Z},\quad 0\le \{x\}<1.$$ Тогда уравнение

$$[x]\{x\}-3\{x\}=6-x$$

преобразуется к виду

$$n\{x\}-3\{x\}=6-n-\{x\},$$

$$\{x\}(n-2)=6-n,$$

$$\{x\}=\frac{6-n}{n-2}.$$

Так как $$0\le \{x\}<1,$$ получаем систему неравенств:

$$0\le \frac{6-n}{n-2}<1.$$

1) Из неравенства

$$\frac{6-n}{n-2}\ge 0$$

следует

$$2<n\le 6.$$

2) Из неравенства

$$\frac{6-n}{n-2}<1$$

получаем

$$\frac{6-n-(n-2)}{n-2}<0,$$

$$\frac{8-2n}{n-2}<0,$$

$$\frac{n-4}{n-2}>0,$$

откуда

$$n<2 \quad \text{или} \quad n>4.$$

Совмещая условия, имеем

$$n\in (4;6].$$

Так как $$n=[x]$$ — целое число, то

$$n=5 \quad \text{или} \quad n=6.$$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

при $$n=5$$

$$\{x\}=\frac{6-5}{5-2}=\frac13,$$

$$x=5+\frac13=5\frac13;$$

при $$n=6$$

$$\{x\}=\frac{6-6}{6-2}=0,$$

$$x=6.$$

Ответ

$$5\frac13,\ 6$$