Упр.9.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 9.31. Решите уравнение 2{x}-{x}[x]=x-5.

Пусть $$[x]=n,$$ $$\{x\}=x-n,$$ где $$n\in \mathbb{Z},$$ $$0\le \{x\}<1.$$ Тогда уравнение

$$2\{x\}-\{x\}[x]=x-5$$

можно записать так:

$$2\{x\}-\{x\}n=n+\{x\}-5.$$

Перенесём слагаемые:

$$\{x\}-\{x\}n=n-5,$$

$$\{x\}(1-n)=n-5,$$

$$\{x\}=\frac{n-5}{1-n}=\frac{n-5}{1-n}.$$

Так как $$0\le \{x\}<1,$$ получаем систему неравенств:

$$0\le \frac{n-5}{1-n}<1.$$

Решим её.

1) $$\frac{n-5}{1-n}\ge 0.$$

Это возможно при

$$1<n\le 5.$$

2) $$\frac{n-5}{1-n}<1.$$

$$\frac{n-5-(1-n)}{1-n}<0,$$

$$\frac{2n-6}{1-n}<0,$$

$$\frac{n-3}{n-1}>0.$$

Отсюда

$$n<1 \quad \text{или} \quad n>3.$$

С учётом условия $$1<n\le 5$$ получаем:

$$n\in \{4,5\}.$$

Теперь найдём $$x$$:

$$x=n+\{x\}=n+\frac{n-5}{1-n}.$$

При $$n=4$$:

$$x=4+\frac{4-5}{1-4}=4+\frac{1}{3}=\frac{13}{3}.$$

При $$n=5$$:

$$x=5+\frac{5-5}{1-5}=5.$$

Ответ

$$\frac{13}{3};\ 5.$$