Упр.9.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) |x+2|(x^2-(a+1)x+a) < 0; 2) |x+2|(x^2-(a+1)x+a)?0.

Рассмотрим выражение

$$|x+2|\bigl(x^2-(a+1)x+a\bigr).$$

Заметим, что

$$x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).$$

1) $$|x+2|\bigl(x^2-(a+1)x+a\bigr)<0$$

Так как $$|x+2|\ge 0,$$ то произведение будет отрицательным только при

$$x^2-(a+1)x+a<0,\qquad x\ne -2.$$

Решим неравенство

$$x^2-(a+1)x+a<0.$$

Его корни:

$$D=(a+1)^2-4a=(a-1)^2,$$

$$x_{1,2}=\frac{(a+1)\mp(a-1)}{2},$$

то есть

$$x_1=1,\qquad x_2=a.$$

Тогда

$$ (x-1)(x-a)<0.$$

Отсюда получаем:

• если $$a<-2,$$ то $$x\in(a;-2)\cup(-2;1);$$
• если $$-2\le a<1,$$ то $$x\in(a;1);$$
• если $$a=1,$$ то решений нет;
• если $$a>1,$$ то $$x\in(1;a).$$

2) $$|x+2|\bigl(x^2-(a+1)x+a\bigr)\le 0$$

Так как $$|x+2|\ge 0,$$ то произведение не положительно, если

$$x^2-(a+1)x+a\le 0,$$

или $$x+2=0.$$

Решаем неравенство

$$x^2-(a+1)x+a\le 0.$$

Его корни те же: $$x_1=1,$$ $$x_2=a.$$

Значит,

$$ (x-1)(x-a)\le 0.$$

Тогда:

• если $$a<-2,$$ то $$x\in[a;1];$$
• если $$-2<a<1,$$ то $$x\in[a;1]\cup\{-2\};$$
• если $$a=1,$$ то $$x\in\{-2;1\};$$
• если $$a>1,$$ то $$x\in[1;a]\cup\{-2\}.$$

Ответ

1) $$\begin{cases} a<-2,& x\in(a;-2)\cup(-2;1),\\ -2\le a<1,& x\in(a;1),\\ a=1,& x\in\varnothing,\\ a>1,& x\in(1;a). \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} a<-2,& x\in[a;1],\\ -2<a<1,& x\in[a;1]\cup\{-2\},\\ a=1,& x\in\{-2;1\},\\ a>1,& x\in[1;a]\cup\{-2\}. \end{cases}$$