Упр.9.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (x-1)(x+3)^2 (x-2) < 0; 3) (2x+3)(1-4x)^4 (x-2)^3 (x+6) < 0; 2) |x-4|(x+1)(x-3) > 0; 4) (1-3x)^3 (x+2)^2 (x-4)^5 (x-3) > 0.

1. $$ (x-1)(x+3)^2(x-2)<0 $$ Так как $$ (x+3)^2 \ge 0 $$ и при $$ x\ne -3 $$ не влияет на знак, получаем: $$ (x-1)(x-2)<0, \quad x\ne -3. $$ Произведение отрицательно между корнями: $$ 1
2. $$ |x-4|(x+1)(x-3)>0 $$
   Множитель $$ |x-4| \ge 0 $$, поэтому для положительности произведения нужно:
   $$ (x+1)(x-3)>0, \quad x\ne 4. $$
   Тогда
   $$ x<-1 \quad \text{или} \quad x>3. $$
   Исключаем точку $$ x=4 $$:
   $$ x\in(-\infty;-1)\cup(3;4)\cup(4;+\infty). $$
3. $$ (2x+3)(1-4x)^4(x-2)^3(x+6)<0 $$ Так как $$ (1-4x)^4 \ge 0 $$ и при $$ x\ne \frac14 $$ не влияет на знак, получаем: $$ (2x+3)(x-2)^3(x+6)<0, \quad x\ne \frac14. $$ Поскольку степень $$ 3 $$ нечётная, знак сохраняется: $$ (2x+3)(x-2)(x+6)<0. $$ Отсюда $$ x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac32;\frac14\right)\cup\left(\frac14;2\right). $$
4. $$ (1-3x)^3(x+2)^2(x-4)^5(x-3)>0 $$
   Так как $$ (x+2)^2 \ge 0 $$ и при $$ x\ne -2 $$ не влияет на знак, а нечётные степени знака не меняют, получаем:
   $$ (1-3x)(x-4)(x-3)>0, \quad x\ne -2. $$
   Учитывая корни $$ x=\frac13,\ 3,\ 4 $$, получаем:
   $$ x\in(-\infty;-2)\cup\left(-2;\frac13\right)\cup(3;4). $$

Ответ

1) $$x\in(1;2)$$;
2) $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$$;
3) $$x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac32;\frac14\right)\cup\left(\frac14;2\right)$$;
4) $$x\in(-\infty;-2)\cup\left(-2;\frac13\right)\cup(3;4)$$.