Упр.9.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) |x-1|(x^2-(a+3)x+3a) < 0; 2) |x-1|(x^2-(a+3)x+3a)?0.

Рассмотрим выражение

$$|x-1|\bigl(x^2-(a+3)x+3a\bigr).$$

Заметим, что

$$x^2-(a+3)x+3a=(x-3)(x-a).$$

Тогда неравенства принимают вид:

1) $$|x-1|(x-3)(x-a)<0;$$

2) $$|x-1|(x-3)(x-a)\le 0.$$

Так как $$|x-1|\ge 0,$$ то знак произведения определяется только множителем $$ (x-3)(x-a), $$ а точка $$x=1$$ отдельно учитывается по условию неравенства.

1) $$|x-1|(x-3)(x-a)<0.$$

Чтобы произведение было отрицательным, нужно:

$$|x-1|>0,\qquad (x-3)(x-a)<0.$$

Неравенство $$ (x-3)(x-a)<0 $$ выполняется между корнями $$a$$ и $$3$$. Поэтому:

• если $$a<1,$$ то $$x\in(a;1)\cup(1;3);$$
• если $$1\le a<3,$$ то $$x\in(a;3);$$
• если $$a=3,$$ то решений нет;
• если $$a>3,$$ то $$x\in(3;a).$$

2) $$|x-1|(x-3)(x-a)\le 0.$$

Теперь возможны два случая:

либо $$|x-1|=0,$$ то есть $$x=1,$$ либо $$ (x-3)(x-a)\le 0.$$

Неравенство $$ (x-3)(x-a)\le 0 $$ выполняется на отрезке между корнями $$a$$ и $$3$$, включая концы. Тогда:

• если $$a<1,$$ то $$x\in[a;3];$$
• если $$1\le a<3,$$ то $$x\in[a;3]\cup\{1\};$$
• если $$a=3,$$ то $$x\in\{1;3\};$$
• если $$a>3,$$ то $$x\in[3;a]\cup\{1\}.$$

Ответ

1) $$\begin{cases} a<1,& x\in(a;1)\cup(1;3),\\ 1\le a<3,& x\in(a;3),\\ a=3,& x\in\varnothing,\\ a>3,& x\in(3;a). \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} a<1,& x\in[a;3],\\ 1\le a<3,& x\in[a;3]\cup\{1\},\\ a=3,& x\in\{1;3\},\\ a>3,& x\in[3;a]\cup\{1\}. \end{cases}$$