Упр.9.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) |x-a|(5x^2-2x-3) < 0; 2) |x-a|(5x^2-2x-3)?0.

1) Рассмотрим неравенство $$|x-a|(5x^2-2x-3)<0.$$

Так как $$|x-a|\ge 0,$$ то произведение будет отрицательным только при условии

$$5x^2-2x-3<0,$$

и одновременно $$|x-a|\ne 0,$$ то есть $$x\ne a.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=4+60=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 8}{10},$$

откуда

$$x_1=-\frac35,\qquad x_2=1.$$

Тогда

$$5x^2-2x-3=(5x+3)(x-1),$$

и

$$5x^2-2x-3<0 \iff -\frac35<x<1.$$

С учётом условия $$x\ne a$$ получаем:

если $$a\le -\frac35$$ или $$a\ge 1,$$ то

$$x\in\left(-\frac35;1\right);$$

если $$-\frac35<a<1,$$ то

$$x\in\left(-\frac35;a\right)\cup(a;1).$$

2) Рассмотрим неравенство $$|x-a|(5x^2-2x-3)\le 0.$$

Так как $$|x-a|\ge 0,$$ то произведение не положительно, когда

$$5x^2-2x-3\le 0,$$

или когда $$|x-a|=0,$$ то есть $$x=a.$$

Решим неравенство

$$5x^2-2x-3\le 0.$$

Корни те же: $$x=-\frac35$$ и $$x=1,$$ значит

$$5x^2-2x-3\le 0 \iff x\in\left[-\frac35;1\right].$$

Добавляя точку $$x=a,$$ получаем:

если $$a<-\frac35$$ или $$a>1,$$ то

$$x\in\left[-\frac35;1\right]\cup\{a\};$$

если $$-\frac35\le a\le 1,$$ то

$$x\in\left[-\frac35;1\right].$$

Ответ

1) Если $$a\le -\frac35$$ или $$a\ge 1,$$ то $$x\in\left(-\frac35;1\right);$$ если $$-\frac35<a<1,$$ то $$x\in\left(-\frac35;a\right)\cup(a;1).$$

2) Если $$a<-\frac35$$ или $$a>1,$$ то $$x\in\left[-\frac35;1\right]\cup\{a\};$$ если $$-\frac35\le a\le 1,$$ то $$x\in\left[-\frac35;1\right].$$