Упр.9.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) |3x-2|+|x^2-5x+6|=x^2-2x+4;
2) |x^2-9|+|x^2+4x+3|=|2x^2+4x-6|.

1. Решим уравнение

   $$|3x-2|+|x^2-5x+6|=x^2-2x+4.$$

   Заметим, что

   $$x^2-2x+4=(3x-2)+(x^2-5x+6).$$

   Тогда равенство вида $$|a|+|b|=a+b$$ выполняется, если $$a\ge 0$$ и $$b\ge 0$$.

   Получаем систему неравенств:

   $$3x-2\ge 0,$$

   $$x^2-5x+6\ge 0.$$

   Из первого неравенства:

   $$x\ge \frac23.$$

   Из второго:

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\ge 0,$$

   откуда

   $$x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

   С учётом $$x\ge \frac23$$ получаем:

   $$x\in \left[\frac23;2\right]\cup [3;+\infty).$$

2. Решим уравнение

   $$|x^2-9|+|x^2+4x+3|=|2x^2+4x-6|.$$

   Заметим, что

   $$2x^2+4x-6=(x^2-9)+(x^2+4x+3).$$

   Равенство вида $$|a|+|b|=|a+b|$$ выполняется, если числа $$a$$ и $$b$$ одного знака, то есть $$ab\ge 0$$.

   Рассмотрим произведение:

   $$ (x^2-9)(x^2+4x+3)\ge 0.$$

   Разложим на множители:

   $$ (x-3)(x+3)(x+1)(x+3)\ge 0,$$

   $$ (x+3)^2(x+1)(x-3)\ge 0.$$

   Так как $$ (x+3)^2\ge 0 $$ при любых $$x$$, остаётся решить неравенство

   $$ (x+1)(x-3)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

Ответ

1) $$x\in \left[\frac23;2\right]\cup [3;+\infty).$$

2) $$x\in (-\infty;-1]\cup [3;+\infty).$$