Упр.9.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$|2x-1|+|x^2-x-6|=x^2+x-7$$;
   2) $$|x^2-4|+|x^2-x-2|=|2x^2-x-6|$$.

1) $$|2x-1|+|x^2-x-6|=x^2+x-7$$

Заметим, что

$$x^2+x-7=(2x-1)+(x^2-x-6),$$

поэтому равенство $$|a|+|b|=a+b$$ выполняется тогда и только тогда, когда

$$a\ge 0 \quad \text{и} \quad b\ge 0.$$

Получаем систему неравенств:

$$\begin{cases} 2x-1\ge 0,\\ x^2-x-6\ge 0. \end{cases}$$

Решим их:

$$2x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac12,$$

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ge 0 \Rightarrow x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 3.$$

Пересечение условий:

$$x\ge 3.$$

2) $$|x^2-4|+|x^2-x-2|=|2x^2-x-6|$$

Заметим, что

$$2x^2-x-6=(x^2-4)+(x^2-x-2).$$

Равенство $$|a|+|b|=|a+b|$$ выполняется тогда и только тогда, когда числа $$a$$ и $$b$$ одного знака, то есть

$$ab\ge 0.$$

Следовательно, нужно решить неравенство

$$(x^2-4)(x^2-x-2)\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$(x-2)(x+2)(x-2)(x+1)\ge 0,$$

то есть

$$(x+2)(x+1)(x-2)^2\ge 0.$$

Так как $$(x-2)^2\ge 0$$ при любом $$x$$, получаем:

$$(x+2)(x+1)\ge 0$$

или отдельно $$x=2$$.

Решаем:

$$(x+2)(x+1)\ge 0 \Rightarrow x\le -2 \ \text{или}\ x\ge -1.$$

Точка $$x=2$$ уже входит в промежуток $$x\ge -1$$.

Ответ

1) $$x\in[3;+\infty)$$

2) $$x\in(-\infty;-2]\cup[-1;+\infty)$$