Упр.9.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) |(x-3)/(x-5)|?1; 2) |(x+4)/(x+2)|?1; 3) |(x^2-3x+2)/(x^2+3x+2)| < 1.

1. $$\left|\frac{x-3}{x-5}\right|\ge 1$$

   Это равносильно системе двух неравенств:

   $$\frac{x-3}{x-5}\le -1 \quad \text{или} \quad \frac{x-3}{x-5}\ge 1.$$

   1)
   $$\frac{x-3}{x-5}\le -1$$
   $$\frac{(x-3)+(x-5)}{x-5}\le 0$$
   $$\frac{2x-8}{x-5}\le 0$$
   $$\frac{x-4}{x-5}\le 0.$$
   Отсюда
   $$x\in [4;5).$$

   2)
   $$\frac{x-3}{x-5}\ge 1$$
   $$\frac{(x-3)-(x-5)}{x-5}\ge 0$$
   $$\frac{2}{x-5}\ge 0.$$
   Значит,
   $$x>5.$$

   Тогда
   $$x\in [4;5)\cup (5;+\infty).$$

2. $$\left|\frac{x+4}{x+2}\right|\le 1$$

   1)
   $$\frac{x+4}{x+2}\ge -1$$
   $$\frac{(x+4)+(x+2)}{x+2}\ge 0$$
   $$\frac{2x+6}{x+2}\ge 0$$
   $$\frac{x+3}{x+2}\ge 0.$$
   Отсюда
   $$x\le -3 \quad \text{или} \quad x>-2.$$

   2)
   $$\frac{x+4}{x+2}\le 1$$
   $$\frac{(x+4)-(x+2)}{x+2}\le 0$$
   $$\frac{2}{x+2}\le 0.$$
   Значит,
   $$x<-2.$$

   Пересечение полученных множеств:
   $$x\in (-\infty;-3].$$

3. $$\left|\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}\right|<1$$

   Область определения:
   $$x^2+3x+2\ne 0,$$
   $$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\ne 0,$$
   значит,
   $$x\ne -1,\; x\ne -2.$$

   Так как $$|A|<1$$, то $$-1<\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}<1.$$

   Решим правую часть:
   $$\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}<1$$
   $$\frac{(x^2-3x+2)-(x^2+3x+2)}{x^2+3x+2}<0$$
   $$\frac{-6x}{(x+1)(x+2)}<0$$
   $$\frac{x}{(x+1)(x+2)}>0.$$
   Отсюда
   $$x\in (-2;-1)\cup (0;+\infty).$$

   Проверим левую часть:
   $$\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}>-1$$
   $$\frac{(x^2-3x+2)+(x^2+3x+2)}{x^2+3x+2}>0$$
   $$\frac{2x^2+4}{(x+1)(x+2)}>0.$$
   Числитель всегда положителен, значит
   $$(x+1)(x+2)>0,$$
   то есть
   $$x\in (-\infty;-2)\cup (-1;+\infty).$$

   Пересечение двух условий:
   $$x\in (0;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in [4;5)\cup (5;+\infty)$$

2) $$x\in (-\infty;-3]$$

3) $$x\in (0;+\infty)$$