Упр.9.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) |(2x-1)/(x-1)|?2; 2) |3x/(x^2-4)|?1; 3) |(x^2-5x+4)/(x^2-4)|?1.
$$\left|\frac{2x-1}{x-1}\right|\ge 2,$$
$$\frac{2x-1}{x-1}\le -2 \quad \text{или} \quad \frac{2x-1}{x-1}\ge 2.$$
1) $$\frac{2x-1}{x-1}\le -2$$
$$\frac{2x-1+2(x-1)}{x-1}\le 0$$
$$\frac{4x-3}{x-1}\le 0,$$
откуда $$\frac34\le x<1.$$
2) $$\frac{2x-1}{x-1}\ge 2$$
$$\frac{2x-1-2(x-1)}{x-1}\ge 0$$
$$\frac{1}{x-1}\ge 0,$$
значит, $$x>1.$$
Итак, $$x\in\left[\frac34;1\right)\cup(1;+\infty).$$
$$\left|\frac{3x}{x^2-4}\right|\le 1,$$
$$-\!1\le \frac{3x}{x^2-4}\le 1,\qquad x\ne \pm 2.$$
1) $$\frac{3x}{x^2-4}\ge -1$$
$$\frac{3x+x^2-4}{x^2-4}\ge 0$$
$$\frac{x^2+3x-4}{x^2-4}\ge 0$$
$$\frac{(x+4)(x-1)}{(x+2)(x-2)}\ge 0.$$
Отсюда $$x\in(-\infty;-4]\cup(-2;1]\cup(2;+\infty).$$
2) $$\frac{3x}{x^2-4}\le 1$$
$$\frac{3x-(x^2-4)}{x^2-4}\le 0$$
$$\frac{-x^2+3x+4}{x^2-4}\le 0$$
$$\frac{(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-2)}\le 0.$$
Отсюда $$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;2)\cup[4;+\infty).$$
Пересечение полученных множеств:
$$x\in(-\infty;-4]\cup[-1;1]\cup[4;+\infty).$$
$$\left|\frac{x^2-5x+4}{x^2-4}\right|\le 1,\qquad x\ne \pm 2.$$
1) $$\frac{x^2-5x+4}{x^2-4}\ge -1$$
$$\frac{x^2-5x+4+x^2-4}{x^2-4}\ge 0$$
$$\frac{2x^2-5x}{x^2-4}\ge 0$$
$$\frac{x(2x-5)}{(x+2)(x-2)}\ge 0.$$
Отсюда $$x\in(-\infty;-2)\cup\left[0;2\right)\cup\left[\frac52;+\infty\right).$$
2) $$\frac{x^2-5x+4}{x^2-4}\le 1$$
$$\frac{x^2-5x+4-(x^2-4)}{x^2-4}\le 0$$
$$\frac{-5x+8}{x^2-4}\le 0$$
$$\frac{5x-8}{(x+2)(x-2)}\ge 0.$$
Отсюда $$x\in(-2;\tfrac85]\cup(2;+\infty).$$
Пересечение полученных множеств:
$$x\in\left[0;\frac85\right]\cup\left[\frac52;+\infty\right).$$
Ответ
1) $$x\in\left[\frac34;1\right)\cup(1;+\infty);$$ 2) $$x\in(-\infty;-4]\cup[-1;1]\cup[4;+\infty);$$ 3) $$x\in\left[0;\frac85\right]\cup\left[\frac52;+\infty\right).$$
