Упр.9.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (|x|-5)(|x|-7)?0; 3) (x^2-7|x|+10)/(x^2-6x+9) < 0; 2) (|x+3|+x)/(x+2) > 1; 4) 2/(x|x-1|)?-1.

Подробный ответ

$$\left(|x|-5\right)\left(|x|-7\right)\le 0$$
Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$\left(t-5\right)\left(t-7\right)\le 0,$$
откуда
$$5\le t\le 7.$$
Значит,
$$5\le |x|\le 7,$$
то есть
$$x\in[-7;-5]\cup[5;7].$$
$$\frac{|x+3|+x}{x+2}>1,$$
$$x\ne -2.$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x\ge -3.$$ Тогда $$|x+3|=x+3,$$ и
$$\frac{x+3+x}{x+2}>1,$$
$$\frac{x+1}{x+2}>0.$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;+\infty).$$
С учётом $$x\ge -3$$ получаем
$$x\in[-3;-2)\cup(-1;+\infty).$$
2) $$x<-3.$$ Тогда $$|x+3|=-(x+3),$$ и
$$\frac{-(x+3)+x}{x+2}>1,$$
$$\frac{-3}{x+2}>1,$$
$$\frac{x+5}{x+2}<0.$$
При $$x<-3$$ это верно для всех таких $$x$$, значит
$$x\in(-\infty;-3).$$
Объединяя, получаем
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;+\infty).$$
$$\frac{x^2-7|x|+10}{x^2-6x+9}<0.$$
Знаменатель
$$x^2-6x+9=(x-3)^2\ge 0,$$
и равен нулю только при $$x=3.$$ Поэтому дробь может быть отрицательной только тогда, когда числитель отрицателен, а $$x\ne 3.$$
1) $$x\ge 0.$$ Тогда
$$x^2-7x+10<0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x-5\right)<0,$$
$$2
причём $$x\ne 3.$$ Значит,
$$x\in(2;3)\cup(3;5).$$
2) $$x<0.$$ Тогда
$$x^2+7x+10<0,$$
$$\left(x+5\right)\left(x+2\right)<0,$$
$$-5
Следовательно,
$$x\in(-5;-2).$$
Итак,
$$x\in(-5;-2)\cup(2;3)\cup(3;5).$$
$$\frac{2}{x|x-1|}\le -1.$$
$$x\ne 0,\quad x\ne 1.$$
1) $$x\ge 1.$$ Тогда $$|x-1|=x-1,$$ и
$$\frac{2}{x(x-1)}\le -1.$$
Так как $$x(x-1)>0,$$ умножаем на положительное число:
$$2\le -x(x-1),$$
$$x^2-x+2\le 0.$$
Но
$$D=1-8=-7<0,$$
поэтому решений нет.
2) $$x<1.$$ Тогда $$|x-1|=1-x,$$ и
$$\frac{2}{x(1-x)}\le -1.$$
Перенесём всё в одну дробь:
$$\frac{2+x(1-x)}{x(1-x)}\le 0,$$
$$\frac{-x^2+x+2}{x(1-x)}\le 0,$$
$$\frac{(x+1)(x-2)}{x(x-1)}\le 0.$$
С учётом точек $$x=-1,0,1,2$$ получаем
$$x\in[-1;0).$$