Упр.9.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите неравенство $$\left|\frac{x-1}{x^2-16}\right|? \frac{x-1}{x^2-16}$$.

Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{x-1}{x^2-16}\right|\le \frac{x-1}{x^2-16}.$$

Обозначим

$$a=\frac{x-1}{x^2-16}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$|a|\le a.$$

Это возможно только при

$$a\ge 0.$$

Следовательно, нужно решить неравенство

$$\frac{x-1}{x^2-16}\ge 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-16=(x-4)(x+4).$$

Тогда

$$\frac{x-1}{(x-4)(x+4)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-4,\; x=1,\; x=4.$$

Исследуем знаки на промежутках:

• при $$x\in(-\infty,-4)$$ дробь отрицательна;
• при $$x\in(-4,1)$$ дробь положительна;
• при $$x\in(1,4)$$ дробь отрицательна;
• при $$x\in(4,+\infty)$$ дробь положительна.

Точки $$x=-4$$ и $$x=4$$ не входят в область определения, а при $$x=1$$ дробь равна нулю, поэтому эта точка подходит.

Ответ

$$x\in(-4;1]\cup(4;+\infty).$$