Упр.9.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство $$\left|\frac{x}{x^2-9}\right|?\frac{x}{x^2-9}$$.

Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{x}{x^2-9}\right|\le \frac{x}{x^2-9}.$$

Левая часть неотрицательна, поэтому неравенство выполняется тогда и только тогда, когда правая часть тоже неотрицательна:

$$\frac{x}{x^2-9}\ge 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$\frac{x}{x^2-9}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ дробь неотрицательна. Критические точки: $$x=-3$$, $$x=0$$, $$x=3$$.

Знак дроби положителен или равен нулю на промежутках

$$(-3;0]\cup(3;+\infty).$$

Точки $$x=-3$$ и $$x=3$$ не входят в область определения, поэтому их исключаем.

Ответ

$$x\in(-3;0]\cup(3;+\infty).$$