Упр.9.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 9.19. Решите неравенство |x/(x^2-9)|?x/(x^2-9).

Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{x}{x^2-9}\right|\le \frac{x}{x^2-9}.$$

Левая часть неотрицательна, поэтому неравенство выполняется тогда и только тогда, когда правая часть тоже неотрицательна:

$$\frac{x}{x^2-9}\ge 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$\frac{x}{x^2-9}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}.$$

Найдём, при каких значениях $x$ дробь неотрицательна. Критические точки: $x=-3$, $x=0$, $x=3$.

Знак дроби положителен или равен нулю на промежутках

$$(-3;0]\cup(3;+\infty).$$

Точки $x=-3$ и $x=3$ не входят в область определения, поэтому их исключаем.

Ответ

$$x\in(-3;0]\cup(3;+\infty).$$