Упр.9.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}>0$$

   Чтобы произведение было положительным, нужно:

   $$x-3>0,\qquad 14+5x-x^2\ge 0.$$

   Решим неравенство для подкоренного выражения:

   $$14+5x-x^2\ge 0$$
   $$x^2-5x-14\le 0$$
   $$(x+2)(x-7)\le 0$$
   $$-2\le x\le 7.$$

   Пересекаем с условием $$x>3$$:

   $$x\in(3;7].$$

2. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0$$

   Возможны два случая:

   $$x-3\ge 0 \quad \text{и} \quad 14+5x-x^2\ge 0.$$

   Тогда

   $$x\ge 3,\qquad -2\le x\le 7,$$

   откуда

   $$x\in[3;7].$$

   Кроме того, при $$x=3$$ произведение равно нулю, а при $$14+5x-x^2=0$$ тоже получаем нуль, значит подходят и граничные точки области определения:

   $$x\in\{-2\}\cup[3;7].$$

3. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}<0$$

   Нужно:

   $$x-3<0,\qquad 14+5x-x^2\ge 0.$$

   То есть

   $$x<3,\qquad -2\le x\le 7.$$

   Пересечение:

   $$x\in[-2;3).$$

4. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\le 0$$

   Возможны случаи:

   $$x-3\le 0,\qquad -2\le x\le 7.$$

   Тогда

   $$x\in[-2;3].$$

   Также произведение равно нулю при $$x=7$$, поэтому

   $$x\in[-2;3]\cup\{7\}.$$

5. $$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}<0$$

   Имеем

   $$x^2-25<0,\qquad 16-x^2\ge 0.$$

   Тогда

   $$(x+5)(x-5)<0 \Rightarrow -5<x<5,$$ $$(x+4)(x-4)\ge 0 \Rightarrow -4\le x\le 4.$$

   Пересечение:

   $$x\in(-4;4).$$

6. $$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}>0$$

   Нужно:

   $$x^2-25>0,\qquad 16-x^2\ge 0.$$

   То есть

   $$x<-5 \ \text{или}\ x>5,$$
   $$-4\le x\le 4.$$

   Пересечения нет.

   $$\varnothing.$$

7. $$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}\le 0$$

   Так как $$\sqrt{16-x^2}\ge 0$$, то достаточно взять область определения:

   $$16-x^2\ge 0,$$
   $$-4\le x\le 4.$$

   На этой области произведение не положительно, значит

   $$x\in[-4;4].$$

8. $$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}\ge 0$$

   При $$16-x^2\ge 0$$ имеем $$\sqrt{16-x^2}\ge 0$$, а значит нужно

   $$x^2-25\ge 0.$$

   Но на области определения $$-4\le x\le 4$$ это не выполняется, кроме случаев, когда произведение равно нулю. Поэтому

   $$x\in[-4;4].$$

9. $$\left(x^2-4x-5\right)\sqrt{x^2-5x+6}>0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-4x-5=(x+1)(x-5),$$
   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

   Тогда

   $$x^2-4x-5>0 \Rightarrow x<-1 \ \text{или}\ x>5,$$
   $$x^2-5x+6\ge 0 \Rightarrow x\le 2 \ \text{или}\ x\ge 3.$$

   Пересечение даёт

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty).$$

10. $$\left(x^2-4x-5\right)\sqrt{x^2-5x+6}<0$$

    Нужно:

    $$x^2-4x-5<0,\qquad x^2-5x+6\ge 0.$$

    Получаем

    $$-1<x<5,$$
    $$x\le 2 \ \text{или}\ x\ge 3.$$

    Пересечение:

    $$x\in(-1;2)\cup(3;5).$$

11. $$\left(x^2-4x-5\right)\sqrt{x^2-5x+6}\le 0$$

    Имеем

    $$x^2-4x-5\le 0,\qquad x^2-5x+6\ge 0.$$

    Тогда

    $$-1\le x\le 5,$$
    $$x\le 2 \ \text{или}\ x\ge 3.$$

    Пересечение:

    $$x\in[-1;2]\cup[3;5].$$

12. $$\left(x^2-4x-5\right)\sqrt{x^2-5x+6}\ge 0$$

    Нужно:

    $$x^2-4x-5\ge 0,\qquad x^2-5x+6\ge 0.$$

    То есть

    $$x\le -1 \ \text{или}\ x\ge 5,$$
    $$x\le 2 \ \text{или}\ x\ge 3.$$

    Пересечение:

    $$x\in(-\infty;-1]\cup[5;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(3;7]$$;
2) $$x\in\{-2\}\cup[3;7]$$;
3) $$x\in[-2;3)$$;
4) $$x\in[-2;3]\cup\{7\}$$;
5) $$x\in(-4;4)$$;
6) $$\varnothing$$;
7) $$x\in[-4;4]$$;
8) $$x\in[-4;4]$$;
9) $$x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$$;
10) $$x\in(-1;2)\cup(3;5)$$;
11) $$x\in[-1;2]\cup[3;5]$$;
12) $$x\in(-\infty;-1]\cup[5;+\infty)$$.