Упр.9.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$(x+4)\sqrt{x^2-2x-15}>0$$
2. $$(x+4)\sqrt{x^2-2x-15}?0$$
3. $$(x+4)\sqrt{x^2-2x-15}<0$$
4. $$(x+4)\sqrt{x^2-2x-15}?0$$
5. $$(x^2-1)\sqrt{x^2-4}<0$$
6. $$(x^2-1)\sqrt{x^2-4}>0$$
7. $$(x^2-1)\sqrt{x^2-4}?0$$
8. $$(x^2-1)\sqrt{x^2-4}?0$$
9. $$(x^2-5x+4)\sqrt{x^2-7x+10}<0$$
10. $$(x^2-5x+4)\sqrt{x^2-7x+10}>0$$
11. $$(x^2-5x+4)\sqrt{x^2-7x+10}?0$$
12. $$(x^2-5x+4)\sqrt{x^2-7x+10}?0$$

1. $$\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x-15}>0$$

   Так как $$\sqrt{x^2-2x-15}\ge 0,$$ то произведение будет положительным только при

   $$x+4>0,\qquad x^2-2x-15>0.$$

   Решим неравенство:

   $$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)>0.$$

   Тогда

   $$x<-3 \quad \text{или} \quad x>5.$$

   С учётом условия $$x>-4$$ получаем

   $$x\in(-4;-3)\cup(5;+\infty).$$

2. $$\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x-15}\ge 0$$

   Произведение неотрицательно, если

   $$x+4\ge 0,\qquad x^2-2x-15\ge 0.$$

   Имеем

   $$(x-5)(x+3)\ge 0 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 5.$$

   С учётом $$x\ge -4$$:

   $$x\in[-4;-3]\cup[5;+\infty).$$

3. $$\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x-15}<0$$

   Так как $$\sqrt{x^2-2x-15}\ge 0,$$ то нужно

   $$x+4<0,\qquad x^2-2x-15>0.$$

   Отсюда

   $$x<-4,$$

   а условие $$x^2-2x-15>0$$ при этом выполняется автоматически. Значит,

   $$x\in(-\infty;-4).$$

4. $$\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x-15}\le 0$$

   Произведение неположительно, если

   $$x+4\le 0,\qquad x^2-2x-15\ge 0.$$

   Тогда

   $$x\le -4,\qquad (x-5)(x+3)\ge 0 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 5.$$

   Пересечение даёт

   $$x\in(-\infty;-4]\cup[-3;5].$$

5. $$\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}<0$$

   Для отрицательного произведения нужно

   $$x^2-1<0,\qquad x^2-4>0.$$

   Но

   $$x^2-1<0 \Rightarrow -10 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>2.$$

   Пересечения нет, значит

   $$\varnothing.$$

6. $$\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}>0$$

   Нужно

   $$x^2-1>0,\qquad x^2-4>0.$$

   Имеем

   $$x^2-1>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>1,$$
   $$x^2-4>0 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>2.$$

   Пересечение:

   $$x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).$$

7. $$\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}\le 0$$

   Так как $$\sqrt{x^2-4}\ge 0,$$ то нужно

   $$x^2-1\le 0,\qquad x^2-4\ge 0.$$

   Получаем

   $$-1\le x\le 1,\qquad x\le -2 \text{ или } x\ge 2.$$

   Пересечение даёт только точки, где корень равен нулю:

   $$x\in\{-2;2\}.$$

8. $$\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}\ge 0$$

   Произведение неотрицательно, если

   $$x^2-1\ge 0,\qquad x^2-4\ge 0.$$

   Тогда

   $$x\le -1 \text{ или } x\ge 1,$$
   $$x\le -2 \text{ или } x\ge 2.$$

   Пересечение:

   $$x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$

9. $$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}<0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-5x+4=(x-1)(x-4),$$
   $$x^2-7x+10=(x-2)(x-5).$$

   Для отрицательного произведения нужно

   $$(x-1)(x-4)<0 \Rightarrow 10 \Rightarrow x<2 \text{ или } x>5.$$

   Пересечение:

   $$x\in(1;2).$$

10. $$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}>0$$

    Нужно

    $$(x-1)(x-4)>0 \Rightarrow x<1 \text{ или } x>4,$$
    и
    $$(x-2)(x-5)\ge 0 \Rightarrow x\le 2 \text{ или } x\ge 5.$$

    Пересечение:

    $$x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty).$$

11. $$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}\le 0$$

    Так как $$\sqrt{x^2-7x+10}\ge 0,$$ то нужно

    $$(x-1)(x-4)\le 0 \Rightarrow 1\le x\le 4,$$
    и
    $$(x-2)(x-5)\ge 0 \Rightarrow x\le 2 \text{ или } x\ge 5.$$

    Пересечение:

    $$x\in[1;2].$$

12. $$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}\ge 0$$

    Нужно

    $$(x-1)(x-4)\ge 0 \Rightarrow x\le 1 \text{ или } x\ge 4,$$
    и
    $$(x-2)(x-5)\ge 0 \Rightarrow x\le 2 \text{ или } x\ge 5.$$

    Пересечение:

    $$x\in(-\infty;1]\cup[5;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-4;-3)\cup(5;+\infty)$$;
2) $$[-4;-3]\cup[5;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;-4)$$;
4) $$(-\infty;-4]\cup[-3;5]$$;
5) $$\varnothing$$;
6) $$(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$;
7) $$\{-2;2\}$$;
8) $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$;
9) $$(1;2)$$;
10) $$(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$$;
11) $$[1;2]$$;
12) $$(-\infty;1]\cup[5;+\infty)$$.