Упр.9.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите неравенство $$\left|\frac{x-5}{x}\right|\left(x^2-x-12\right)?0$$.

Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{x-5}{x}\right|(x^2-x-12)\le 0.$$

Так как $$\left|\frac{x-5}{x}\right|\ge 0$$ при всех допустимых значениях $$x$$, то произведение не превосходит нуля тогда и только тогда, когда

$$x^2-x-12\le 0$$

или

$$\left|\frac{x-5}{x}\right|=0.$$

1) Решим неравенство

$$x^2-x-12\le 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-x-12=(x+3)(x-4).$$

Тогда

$$(x+3)(x-4)\le 0,$$

откуда

$$-3\le x\le 4.$$

2) Найдём, когда модуль равен нулю:

$$\left|\frac{x-5}{x}\right|=0 \iff \frac{x-5}{x}=0 \iff x-5=0 \iff x=5.$$

3) Учтём область определения:

$$x\ne 0.$$

Итак, из промежутка $$[-3;4]$$ нужно исключить точку $$x=0$$, а также добавить значение $$x=5$$.

Ответ

$$x\in[-3;0)\cup(0;4]\cup\{5\}.$$