Упр.9.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (x^2-4)(x^2+x-2)?0;
2) (x^3-4x)(x^2+2x-8)(x^2+7x+10)?0;
3) ((x^2-10x+21)(x^2-6x-7))/((x^2+5x+6)(x^2-4))?0;
4) (|x-5|^5 |x-2|)/((1-x)^3 (x+4))?0.

1. $$\left(x^2-4\right)\left(x^2+x-2\right)\le 0$$
   $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\le 0$$
   $$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)^2\le 0$$

   Так как $$\left(x+2\right)^2\ge 0,$$ то достаточно решить
   $$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\le 0,$$
   при этом $$x=-2$$ тоже подходит.

   Отсюда
   $$x\in[1;2], \quad x=-2.$$

2. $$\left(x^3-4x\right)\left(x^2+2x-8\right)\left(x^2+7x+10\right)\le 0$$
   $$x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)\left(x+2\right)\le 0$$
   $$x\left(x-2\right)^2\left(x+2\right)^2\left(x+4\right)\left(x+5\right)\le 0$$

   Множители $$\left(x-2\right)^2$$ и $$\left(x+2\right)^2$$ не меняют знак, поэтому решаем
   $$x\left(x+4\right)\left(x+5\right)\le 0.$$

   Корни: $$x=-5,\,-4,\,0.$$ Тогда
   $$x\in(-\infty;-5]\cup[-4;0].$$
   Кроме того, $$x=2$$ обращает исходное выражение в нуль.

3. $$\frac{\left(x^2-10x+21\right)\left(x^2-6x-7\right)}{\left(x^2+5x+6\right)\left(x^2-4\right)}\le 0$$
   $$\frac{\left(x-3\right)\left(x-7\right)\left(x-7\right)\left(x+1\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\le 0$$
   $$\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x-7\right)^2}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)^2\left(x-2\right)}\le 0.$$

   Область определения:
   $$x\ne -3,\,-2,\,2.$$
   Так как $$\left(x-7\right)^2\ge 0,$$ решаем
   $$\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\le 0.$$

   По знакам получаем:
   $$x\in(-3;-2)\cup(-2;-1]\cup(2;3]\cup\{7\}.$$

4. $$\frac{|x-5|^5|x-2|}{(1-x)^3(x+4)}\le 0$$

   Числитель неотрицателен при всех $$x,$$ а знак дроби определяется знаменателем. Поэтому нужно, чтобы
   $$\frac{1}{(1-x)^3(x+4)}\le 0,$$
   при этом $$x\ne 1,\,-4.$$

   Так как степень $$3$$ нечётная, знак выражения $$\left(1-x\right)^3$$ совпадает со знаком $$1-x,$$ значит
   $$\frac{1}{(1-x)(x+4)}\le 0.$$
   Отсюда
   $$x\in(-\infty;-4)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in\{-2\}\cup[1;2]$$;
2) $$x\in(-\infty;-5]\cup[-4;0]\cup\{2\}$$;
3) $$x\in(-3;-2)\cup(-2;-1]\cup(2;3]\cup\{7\}$$;
4) $$x\in(-\infty;-4)\cup(1;+\infty)$$.