Упр.9.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (x-5)(x+4)(x^2+6x+9)?0; 3) (x^3-3x+2)/(6-x)?0;
2) (4x^2-4x+1)/(x^2+x-12)?0; 4) (|x|(x+1)^3)/(|x-4|^3 (x+3))?0.

Подробный ответ

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)\left(x^2+6x+9\right)\ge 0$$
$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)\left(x+3\right)^2\ge 0$$
Так как $$\left(x+3\right)^2\ge 0$$ при всех $$x$$ и обращается в нуль при $$x=-3$$, то достаточно рассмотреть знак произведения $$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$.
$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)\ge 0$$
Отсюда:
$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$
Кроме того, $$x=-3$$ тоже подходит, так как при этом всё произведение равно нулю.
$$\frac{4x^2-4x+1}{x^2+x-12}\ge 0$$
$$\frac{(2x-1)^2}{(x+4)(x-3)}\ge 0$$
Числитель неотрицателен при всех $$x$$ и равен нулю при $$x=\frac12$$. Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x\ne -4,\quad x\ne 3.$$
Так как числитель $$\ge 0$$, то дробь неотрицательна там, где знаменатель положителен, а также при $$x=\frac12$$.
$$x^2+x-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\quad x_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$
Знак знаменателя положителен при $$x<-4$$ и $$x>3$$.
$$\frac{x^3-3x+2}{6-x}\le 0$$
$$\frac{x^3-x-2x+2}{x-6}\ge 0$$
$$\frac{x(x^2-1)-2(x-1)}{x-6}\ge 0$$
$$\frac{(x-1)(x^2+x-2)}{x-6}\ge 0$$
$$\frac{(x-1)(x+2)(x-1)}{x-6}\ge 0$$
$$\frac{(x+2)(x-1)^2}{x-6}\ge 0$$
Так как $$\left(x-1\right)^2\ge 0$$, получаем:
$$\frac{x+2}{x-6}\ge 0,\quad x\ne 1,\quad x\ne 6.$$
Решаем неравенство:
$$\frac{x+2}{x-6}\ge 0.$$
Отсюда:
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x>6.$$
Точка $$x=1$$ входит в найденный промежуток, поэтому её нужно исключить.
$$\frac{|x|(x+1)^3}{|x-4|^3(x+3)}\le 0$$
Так как $$|x|\ge 0$$ и $$|x-4|^3>0$$ при $$x\ne 4$$, знак дроби определяется выражением $$\frac{(x+1)^3}{x+3}$$.
Решаем неравенство:
$$\frac{x+1}{x+3}\le 0,\quad x\ne 0,\quad x\ne 4,\quad x\ne -3.$$
Отсюда:
$$-3<x\le -1.$$
С учётом ограничений $$x\ne 0$$ и $$x\ne 4$$ получаем:
$$x\in(-3;-1].$$
Также при $$x=0$$ числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, значит $$x=0$$ тоже подходит.