Упр.9.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (3x+1)(3-x)(x+5)?0; 4) (x^5|3x-1|(x+3))/(x-2)?0;
2) (2x+1)^2 (x-1)(x-2)?0; 5) (1-2x-3x^2)/(3x-x^2-5)?0;
3) ((x-3)(5x+2)(x+3))/((x-1)(x+4)^2))?0;
6) (5x+4)/(x+3)-(x+2)/(1-x)?0.

1. $$ (3x+1)(3-x)(x+5)\le 0 $$

   Перепишем:

   $$ (x+5)(3x+1)(x-3)\ge 0 $$

   Нули множителей: $$x=-5,\; x=-\frac13,\; x=3.$$

   По знакам произведения получаем:

   $$ x\in[-5;-\tfrac13]\cup[3;+\infty). $$

2. $$ (2x+1)^2(x-1)(x-2)\ge 0 $$

   Так как $$ (2x+1)^2\ge 0 $$ при всех $$x$$, знак произведения определяется множителем $$ (x-1)(x-2). $$

   Тогда:

   $$ (x-1)(x-2)\ge 0, $$

   откуда

   $$ x\in(-\infty;1]\cup[2;+\infty). $$

3. $$ \frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2}\ge 0 $$

   Область определения: $$x\ne 1,\; x\ne -4.$$

   Так как $$ (x+4)^2>0 $$ при $$x\ne -4,$$ знак дроби определяется выражением

   $$ \frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{x-1}\ge 0. $$

   Нули числителя: $$x=-3,\; x=-\frac25,\; x=3.$$

   По знакам получаем:

   $$ x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-3]\cup\left[-\frac25;1\right)\cup[3;+\infty). $$

4. $$ \frac{x^5|3x-1|(x+3)}{x-2}\le 0 $$

   Так как $$x^5$$ и $$|3x-1|$$ не меняют знак, рассмотрим знак выражения $$\frac{x(x+3)}{x-2}.$$

   Тогда:

   $$ \frac{x(x+3)}{x-2}\le 0, \qquad x\ne 2. $$

   Нули числителя: $$x=-3,\; x=0.$$

   По знакам дроби:

   $$ x\in(-\infty;-3]\cup[0;2). $$

5. $$ \frac{1-2x-3x^2}{3x-x^2-5}\ge 0 $$

   Разложим числитель:

   $$ 1-2x-3x^2=(1+x)(1-3x). $$

   Тогда

   $$ \frac{(x+1)(1-3x)}{3x-x^2-5}\ge 0. $$

   Знаменатель обращается в ноль при

   $$ 3x-x^2-5=0 \;\Longleftrightarrow\; x^2-3x+5=0. $$

   $$ D=9-20=-11<0, $$

   значит, знаменатель никогда не равен нулю и всегда отрицателен.

   Следовательно, неравенство равносильно

   $$ (x+1)(1-3x)\le 0. $$

   Отсюда

   $$ x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right). $$

6. $$ \frac{5x+4}{x+3}-\frac{x+2}{1-x}\ge 0 $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{(5x+4)(1-x)-(x+2)(x+3)}{(x+3)(1-x)}\ge 0. $$

   Числитель:

   $$ (5x+4)(1-x)-(x+2)(x+3)=-6x^2-4x-2=-2(3x^2+2x+1). $$

   Так как

   $$ 3x^2+2x+1>0 $$

   при всех $$x$$, то числитель всегда отрицателен. Тогда дробь неотрицательна, когда знаменатель отрицателен:

   $$ (x+3)(1-x)<0. $$

   Отсюда

   $$ x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty). $$

Ответ

1) $$x\in[-5;-\frac13]\cup[3;+\infty)$$; 2) $$x\in(-\infty;1]\cup[2;+\infty)$$; 3) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-3]\cup\left[-\frac25;1\right)\cup[3;+\infty)$$; 4) $$x\in(-\infty;-3]\cup[0;2)$$; 5) $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right)$$; 6) $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$.