Упр.9.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (5x+8)/(4-x) < 2; 4) (x+7)/(x-5)+(3x+1)/2 > 0;
2) 2/(x+3) > 1/(x-1); 5) 2x/(x^2-9) < 1/(x+2); 3) (2x+3)/(x^2+x-12) < 1/2; 6) 1/(x-2)+1/(x-1) > 1/x.

1. $$\frac{5x+8}{4-x}<2$$ $$\frac{5x+8-2(4-x)}{4-x}<0$$ $$\frac{7x}{4-x}<0$$ $$\frac{x}{4-x}<0$$ Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков: $$x<0 \quad \text{или} \quad x>4.$$
2. $$\frac{2}{x+3}>\frac{1}{x-1}$$
   $$\frac{2(x-1)-(x+3)}{(x+3)(x-1)}>0$$
   $$\frac{x-5}{(x+3)(x-1)}>0$$
   Критические точки: $$x=-3,\;1,\;5.$$
   По знакам получаем:
   $$x\in(-3;1)\cup(5;+\infty).$$
3. $$\frac{2x+3}{x^2+x-12}<\frac12$$ $$\frac{2(2x+3)-(x^2+x-12)}{2(x^2+x-12)}<0$$ $$\frac{-x^2+3x+18}{(x+4)(x-3)}<0$$ $$\frac{(x+3)(x-6)}{(x+4)(x-3)}>0$$
   Критические точки: $$x=-4,\,-3,\,3,\,6.$$
   Тогда
   $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;3)\cup(6;+\infty).$$
4. $$\frac{x+7}{x-5}+\frac{3x+1}{2}>0$$
   $$\frac{2(x+7)+(3x+1)(x-5)}{2(x-5)}>0$$
   $$\frac{3x^2-12x+9}{x-5}>0$$
   $$\frac{(x-1)(x-3)}{x-5}>0$$
   Критические точки: $$x=1,\;3,\;5.$$
   Получаем:
   $$x\in(1;3)\cup(5;+\infty).$$
5. $$\frac{2x}{x^2-9}<\frac{1}{x+2}$$ $$\frac{2x(x+2)-(x^2-9)}{(x-3)(x+3)(x+2)}<0$$ $$\frac{x^2+4x+9}{(x-3)(x+3)(x+2)}<0$$ Так как $$x^2+4x+9>0$$ при всех $$x$$, то нужно, чтобы знаменатель был отрицателен: $$x\in(-\infty;-3)\cup(-2;3).$$
6. $$\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-1}>\frac{1}{x}$$
   $$\frac{x(x-1)+x(x-2)-(x-1)(x-2)}{x(x-1)(x-2)}>0$$
   $$\frac{x^2-2}{x(x-1)(x-2)}>0$$
   $$\frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{x(x-1)(x-2)}>0$$
   Критические точки: $$x=-\sqrt2,\;0,\;1,\;\sqrt2,\;2.$$
   Тогда
   $$x\in(-\sqrt2;0)\cup(1;\sqrt2)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$;
2) $$x\in(-3;1)\cup(5;+\infty)$$;
3) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;3)\cup(6;+\infty)$$;
4) $$x\in(1;3)\cup(5;+\infty)$$;
5) $$x\in(-\infty;-3)\cup(-2;3)$$;
6) $$x\in(-\sqrt2;0)\cup(1;\sqrt2)\cup(2;+\infty)$$.