Упр.8.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.44. Известно, что x_1 и x_2 — корни уравнения 3x^2-4x-2=0. Не решая уравнения, найдите значение выражения |x_2-x_1|.

По теореме Виета для уравнения $$3x^2-4x-2=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=\frac{4}{3}, \qquad x_1x_2=-\frac{2}{3}.$$

Найдём значение выражения:

$$|x_2-x_1|=\sqrt{(x_2-x_1)^2}=\sqrt{x_2^2-2x_1x_2+x_1^2}.$$

Тогда

$$|x_2-x_1|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}.$$

Подставим найденные значения:

$$|x_2-x_1|=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2-4\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}=\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{24}{9}}=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}.$$

Ответ

$$\frac{2\sqrt{10}}{3}$$