Упр.8.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.43. Для каждого значения параметра a решите уравнение (x^2+4x-5)(vx-a)=0.

Рассмотрим уравнение

$$\left(x^2+4x-5\right)\left(\sqrt{x}-a\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$x^2+4x-5=0.$$

Найдём корни:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-5,\quad x_2=1.$$

Но из-за наличия корня в уравнении должно выполняться $$x\ge 0,$$ поэтому значение $$x=-5$$ не подходит.

2) $$\sqrt{x}-a=0.$$

Тогда

$$\sqrt{x}=a,$$

откуда при $$a\ge 0$$ получаем

$$x=a^2.$$

Если $$a<0,$$ то это уравнение решений не имеет.

Итак, с учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем:

• при $$a<0$$ решение одно: $$x=1$$;
• при $$a=0$$ решения: $$x=0$$ и $$x=1$$;
• при $$a>0,\ a\ne 1$$ решения: $$x=1$$ и $$x=a^2$$;
• при $$a=1$$ оба множителя обращаются в нуль при $$x=1,$$ поэтому решение одно: $$x=1.$$

Ответ

Если $$a<0$$, то $$x=1$$; если $$a=0$$, то $$x=0$$ или $$x=1$$; если $$a>0$$ и $$a\ne 1$$, то $$x=1$$ или $$x=a^2$$; если $$a=1$$, то $$x=1$$.