Упр.8.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.42. Решите уравнение x^2-6[x]+5=0.

Пусть $$[x]=n,$$ где $$n\in \mathbb{Z}.$$ Тогда из уравнения

$$x^2-6[x]+5=0$$

получаем

$$x^2-6n+5=0,$$

откуда

$$x^2=6n-5.$$

Так как $$n=[x],$$ то

$$n\le x<n+1.$$

Проверим возможные значения $$n,$$ для которых правая часть неотрицательна и число $$x$$ может иметь целую часть $$n$$.

Из равенства $$x^2=6n-5$$ следует, что $$6n-5\ge 0,$$ значит $$n\ge 1.$$

Подставим подряд значения $$n=1,2,3,4,5$$:

$$n=1:\quad x^2=1,\quad x=\pm 1,\quad [x]=1 \Rightarrow x=1;$$

$$n=2:\quad x^2=7,\quad x=\pm \sqrt{7},\quad [x]=2 \Rightarrow x=\sqrt{7};$$

$$n=3:\quad x^2=13,\quad x=\pm \sqrt{13},\quad [x]=3 \Rightarrow x=\sqrt{13};$$

$$n=4:\quad x^2=19,\quad x=\pm \sqrt{19},\quad [x]=4 \Rightarrow x=\sqrt{19};$$

$$n=5:\quad x^2=25,\quad x=\pm 5,\quad [x]=5 \Rightarrow x=5.$$

Проверка показывает, что все найденные значения удовлетворяют уравнению.

Ответ

$$1;\ \sqrt{7};\ \sqrt{13};\ \sqrt{19};\ 5.$$