Упр.8.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.41. Решите уравнение x^2-8[x]+7=0.

Пусть $$n=[x]$$, тогда $$n\in \mathbb{Z}$$ и $$n\le x<n+1$$. Уравнение примет вид

$$x^2-8n+7=0,$$

откуда

$$x^2=8n-7.$$

Так как $$x^2\ge 0$$, то

$$8n-7\ge 0 \quad \Rightarrow \quad n\ge 1.$$

С другой стороны, из $$n\le x<n+1$$ и $$x^2=8n-7$$ получаем, что нужно проверить целые значения $$n$$, при которых число $$8n-7$$ является квадратом.

Подставим возможные значения:

$$n=1:\quad x^2=8\cdot 1-7=1,\quad x=\pm 1.$$

Так как $$[x]=1$$, подходит только $$x=1$$.

$$n=2:\quad x^2=8\cdot 2-7=9,\quad x=\pm 3.$$

Так как $$[x]=2$$, подходит только $$x=3$$.

$$n=3:\quad x^2=17,$$ квадратом не является.

$$n=4:\quad x^2=25,\quad x=\pm 5.$$

Так как $$[x]=4$$, подходит только $$x=5$$.

$$n=5:\quad x^2=33,$$ квадратом не является.

$$n=6:\quad x^2=41,$$ квадратом не является.

$$n=7:\quad x^2=49,\quad x=\pm 7.$$

Так как $$[x]=7$$, подходит только $$x=7$$.

Ответ

$$1;\ 3;\ 5;\ 7$$