Упр.8.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.40. Известно, что a(a+b+c) < 0. Докажите, что b^2 > 4ac.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=cx^2+bx+a.$$

Тогда

$$f(0)=a,$$

$$f(1)=a+b+c.$$

По условию

$$a(a+b+c)<0,$$

значит, числа $$f(0)$$ и $$f(1)$$ имеют разные знаки. Следовательно, между точками $$0$$ и $$1$$ функция $$f(x)$$ принимает значение $$0$$, то есть уравнение

$$cx^2+bx+a=0$$

имеет два различных действительных корня.

Тогда дискриминант этого квадратного уравнения положителен:

$$D=b^2-4ac>0.$$

Отсюда

$$b^2>4ac.$$

Ответ

$$b^2>4ac.$$