Упр.8.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.39. Известно, что (a+b+c)(a-b+c) < 0. Докажите, что b^2 > 4ac.

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$f(x)=ax^2+bx+c.$$

Тогда

$$f(1)=a+b+c,$$

$$f(-1)=a-b+c.$$

По условию

$$\bigl(a+b+c\bigr)\bigl(a-b+c\bigr)<0,$$

значит,

$$f(1)\cdot f(-1)<0.$$

Следовательно, значения функции $$f(x)$$ при $$x=1$$ и $$x=-1$$ разных знаков, а значит, уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет два различных действительных корня, один из которых лежит между $$-1$$ и $$1$$.

Для квадратного трёхчлена это возможно только при положительном дискриминанте:

$$D=b^2-4ac>0.$$

Отсюда

$$b^2>4ac.$$

Ответ

$$b^2>4ac.$$