Упр.8.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2-(5+2a)x+10a)/v(x^2-4)=0;
2) (x^2-(2a+2)x+6a-3)/v(2+x-x^2)=0?

Подробный ответ

$$\frac{x^2-(5+2a)x+10a}{\sqrt{x^2-4}}=0.$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю:
$$x^2-(5+2a)x+10a=0,$$
$$x^2-4>0.$$
Найдём корни числителя:
$$D=(5+2a)^2-40a=25-20a+4a^2=(5-2a)^2.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{5+2a\pm(5-2a)}{2},$$
то есть
$$x_1=2a,\qquad x_2=5.$$
Чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы ровно один из корней удовлетворял условию $$x^2-4>0,$$ а второй не подходил.
1) Корень $$x=2a$$ не подходит, если
$$-2\le 2a\le 2,$$
то есть
$$-1\le a\le 1.$$
2) Корень $$x=5$$ всегда подходит, так как $$5^2-4>0.$$
Если $$2a=5,$$ то оба корня совпадают, и решение одно:
$$a=\frac52.$$
Итак,
$$a\in[-1;1]\cup\left\{\frac52\right\}.$$
$$\frac{x^2-(2a+2)x+6a-3}{\sqrt{2+x-x^2}}=0.$$
Снова приравниваем к нулю числитель и учитываем область определения:
$$x^2-(2a+2)x+6a-3=0,$$
$$2+x-x^2>0.$$
Найдём корни числителя:
$$D=(2a+2)^2-4(6a-3)=4a^2-16a+16=(2a-4)^2.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{2a+2\pm(2a-4)}{2},$$
то есть
$$x_1=3,\qquad x_2=2a-1.$$
Область определения:
$$2+x-x^2>0,$$
$$x^2-x-2<0,$$
$$ (x+1)(x-2)<0,$$
$$-1<x<2.$$
Корень $$x=3$$ не подходит, а второй корень должен принадлежать промежутку $$(-1;2)$$:
$$-1<2a-1<2,$$
$$0<2a<3,$$
$$0<a<\frac32.$$
Следовательно, уравнение имеет единственное решение при
$$a\in\left(0;\frac32\right).$$