Упр.8.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2-(4+3a)x+12a)/v(x^2-1)=0;
2) (x^2-3ax-3a-1)/v(-x^2+3x-2)=0?

Подробный ответ

$$\frac{x^2-(4+3a)x+12a}{\sqrt{x^2-1}}=0.$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю.
Решим уравнение числителя:
$$x^2-(4+3a)x+12a=0.$$
Дискриминант:
$$D=(4+3a)^2-48a=16-24a+9a^2=(4-3a)^2.$$
Тогда корни:
$$x_1=\frac{4+3a-(4-3a)}{2}=3a,$$
$$x_2=\frac{4+3a+(4-3a)}{2}=4.$$
Область определения:
$$x^2-1>0,$$
$$x<-1 \text{ или } x>1.$$
Чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы ровно один из корней подходил под ОДЗ.
Корень $$x=4$$ всегда подходит, а корень $$x=3a$$ не должен подходить, либо совпадать с $$4$$.
Если $$3a\in[-1;1],$$ то второй корень не входит в ОДЗ, и решение единственно:
$$-1\le 3a\le 1,$$
$$-\frac13\le a\le \frac13.$$
Если $$3a=4,$$ то оба корня совпадают, и решение также единственно:
$$a=\frac43.$$
$$\frac{x^2-3ax-3a-1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}=0.$$
Решим уравнение числителя:
$$x^2-3ax-3a-1=0.$$
Дискриминант:
$$D=(3a)^2+4(3a+1)=9a^2+12a+4=(3a+2)^2.$$
Корни:
$$x_1=\frac{3a-(3a+2)}{2}=-1,$$
$$x_2=\frac{3a+(3a+2)}{2}=3a+1.$$
Область определения:
$$-x^2+3x-2>0,$$
$$x^2-3x+2<0,$$
$$ (x-1)(x-2)<0,$$
$$1<x<2.$$
Корень $$x=-1$$ не подходит, а второй корень должен лежать в промежутке $$\left(1;2\right):$$
$$1<3a+1<2,$$
$$0<3a<1,$$
$$0<a<\frac13.$$