Упр.8.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.34. При каких значениях параметра a из неравенства x^2+x < 0 следует неравенство x^2-2(a-1)x+a^2-2a?0?

Рассмотрим первое неравенство:

$$x^2+x<0$$

$$x(x+1)<0$$

Отсюда

$$-1<x<0.$$

Теперь рассмотрим второе неравенство:

$$x^2-2(a-1)x+a^2-2a\le 0.$$

Найдём его корни. Дискриминант:

$$D=4(a-1)^2-4(a^2-2a)=4(a^2-2a+1-a^2+2a)=4.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2(a-1)\pm 2}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=a-2,\qquad x_2=a.$$

Следовательно,

$$x^2-2(a-1)x+a^2-2a\le 0 \iff (x-(a-2))(x-a)\le 0,$$

то есть

$$a-2\le x\le a.$$

Чтобы из неравенства $$x^2+x<0$$ следовало второе неравенство, нужно, чтобы весь промежуток $$(-1,0)$$ содержался в отрезке $$[a-2,a]$$.

Это равносильно системе:

$$a-2\le -1,$$

$$a\ge 0.$$

Из первого неравенства получаем:

$$a\le 1.$$

Итак,

$$0\le a\le 1.$$

Ответ

$$a\in[0;1].$$