Упр.8.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.33. При каких значениях параметра a из неравенства x^2-x < 0 следует неравенство x^2-(2a+3)x+a^2+3a?0? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_polyakov9 8-33 95

Первое неравенство:

$$x^2-x<0$$

$$x(x-1)<0$$

$$0<x<1$$

Чтобы из первого неравенства следовало второе, нужно, чтобы при всех $$x$$ из промежутка $$0<x<1$$ выполнялось

$$x^2-(2a+3)x+a^2+3a\le 0.$$

Рассмотрим квадратный трехчлен:

$$x^2-(2a+3)x+a^2+3a$$

Найдём его корни:

$$D=(2a+3)^2-4(a^2+3a)=4a^2+12a+9-4a^2-12a=9$$

$$x_1=\frac{(2a+3)-3}{2}=a,\qquad x_2=\frac{(2a+3)+3}{2}=a+3$$

Тогда

$$x^2-(2a+3)x+a^2+3a=(x-a)(x-a-3).$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$ (x-a)(x-a-3)\le 0 \iff a\le x\le a+3.$$

Чтобы это неравенство выполнялось для всех $$x\in(0,1)$$, промежуток $$[a,a+3]$$ должен содержать отрезок $$[0,1]$$. Значит,

$$a\le 0,\qquad a+3\ge 1.$$

Отсюда

$$a\le 0,\qquad a\ge -2.$$

Следовательно,

$$-2\le a\le 0.$$

Ответ

$$a\in[-2;0].$$