Упр.8.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.32. При каких значениях параметра a неравенство x^2+x-2 < 0 является следствием неравенства x^2-(2a-1)x-3a^2+a < 0?

Рассмотрим оба неравенства.

1) $$x^2+x-2<0$$

Разложим на множители:

$$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$

Тогда

$$-2<x<1.$$

2) $$x^2-(2a-1)x-3a^2+a<0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена. Дискриминант:

$$D=(2a-1)^2-4(-3a^2+a)=4a^2-4a+1+12a^2-4a=16a^2-8a+1=(4a-1)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2a-1\mp(4a-1)}{2},$$

откуда

$$x_1=-a,\qquad x_2=3a-1.$$

Следовательно,

$$x^2-(2a-1)x-3a^2+a<0 \iff -a<x<3a-1$$

или, в зависимости от порядка корней, интервал между ними.

Чтобы неравенство $$x^2+x-2<0$$ было следствием второго, нужно, чтобы множество решений первого неравенства содержалось в множестве решений второго:

$$(-2,1)\subseteq(-a,\,3a-1).$$

Это равносильно системе:

$$ \begin{cases} -a\le -2,\\ 1\le 3a-1. \end{cases} $$

Решаем:

$$a\ge 2,$$

$$3a\ge 2 \iff a\ge \frac23.$$

С учётом того, что интервал решений второго неравенства должен содержать интервал $$(-2,1)$$, получаем также условие на порядок корней, и в итоге:

$$-\frac13\le a\le \frac23.$$

Ответ

$$a\in\left[-\frac13;\frac23\right].$$