Упр.8.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.31. При каких значениях параметра a неравенство x^2-4x+3 < 0 является следствием неравенства x^2-(3a-1)x+2a^2-a < 0?

Подробный ответ

Рассмотрим неравенства

$$x^2-4x+3<0,$$

$$x^2-(3a-1)x+2a^2-a<0.$$

Первое неравенство:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$

поэтому

$$1<x<3.$$

Второе неравенство:

$$x^2-(3a-1)x+2a^2-a<0.$$

Найдём его корни. Дискриминант:

$$D=(3a-1)^2-4(2a^2-a)=9a^2-6a+1-8a^2+4a=(a-1)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{(3a-1)\pm(a-1)}{2},$$

откуда

$$x_1=a,\qquad x_2=2a-1.$$

Следовательно, второе неравенство равносильно

$$a<x<2a-1$$

или

$$2a-1<x<a,$$

в зависимости от порядка корней. Чтобы неравенство $$1<x<3$$ было следствием второго, промежуток решений второго неравенства должен содержать промежуток $$ (1,3). $$

Значит, его корни должны удовлетворять условиям

$$a\le 1,\qquad 2a-1\ge 3$$

или

$$2a-1\le 1,\qquad a\ge 3.$$

Рассмотрим возможные случаи:

$$a\le 1,\quad 2a-1\ge 3 \;\Rightarrow\; a\ge 2,$$

что невозможно.

Остаётся случай, когда

$$a\le 1,\qquad 2a-1\le 1,\qquad a\ge 3,$$

что также невозможно.

Удобнее записать условие включения промежутков напрямую: для всех $$x\in(1,3)$$ должно выполняться

$$x^2-(3a-1)x+2a^2-a<0.$$