Упр.8.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 8.28. При каких значениях параметра a неравенство ax^2+(2-a)x+3-2a?0 имеет единственное решение?

Рассмотрим неравенство

$$ax^2+(2-a)x+3-2a\le 0.$$

Чтобы оно имело единственное решение, парабола должна касаться оси $$Ox$$, то есть квадратный трёхчлен должен иметь единственный корень. Для этого его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(2-a)^2-4a(3-2a).$$

Вычислим:

$$D=4-4a+a^2-12a+8a^2=9a^2-16a+4.$$

Приравняем дискриминант к нулю:

$$9a^2-16a+4=0.$$

Найдём корни этого уравнения:

$$D_1=16^2-4\cdot 9\cdot 4=256-144=112=16\cdot 7,$$

$$a=\frac{16\pm\sqrt{112}}{2\cdot 9}=\frac{16\pm 4\sqrt7}{18}=\frac{8\pm 2\sqrt7}{9}.$$

Так как ветви параболы должны быть направлены вверх, нужно $$a>0$$. Оба найденных значения этому условию удовлетворяют.

Ответ

$$\frac{8-2\sqrt7}{9};\ \frac{8+2\sqrt7}{9}.$$