Упр.8.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) -x^2+6x-a > 0; 3) ax^2+(a-1)x+(a-1) < 0; 2) x^2-(a+1)x+3a-5 < 0; 4) (a+4)x^2-2ax+2a-6 < 0?
$$-x^2+6x-a>0$$
Чтобы неравенство не имело решений, парабола должна не пересекать ось абсцисс и быть направленной вниз.
Найдём дискриминант:
$$D=6^2-4\cdot(-1)\cdot(-a)=36-4a=4(9-a).$$
Для отсутствия решений нужно:
$$D\le 0,\qquad -1<0.$$
Отсюда
$$9-a\le 0,\qquad a\ge 9.$$
$$x^2-(a+1)x+3a-5<0$$
Чтобы неравенство не имело решений, парабола должна не пересекать ось абсцисс и быть направленной вверх.
Найдём дискриминант:
$$D=(a+1)^2-4(3a-5)=a^2-10a+21.$$
Требуем:
$$a^2-10a+21\le 0.$$
Решим квадратное неравенство:
$$a^2-10a+21=(a-3)(a-7),$$
значит
$$3\le a\le 7.$$
$$ax^2+(a-1)x+(a-1)<0$$
Чтобы неравенство не имело решений, парабола должна не пересекать ось абсцисс и быть направленной вверх.
Найдём дискриминант:
$$D=(a-1)^2-4a(a-1)=-3a^2+2a+1.$$
Требуем:
$$-3a^2+2a+1\le 0,$$
то есть
$$3a^2-2a-1\ge 0.$$
Решим:
$$3a^2-2a-1=(3a+1)(a-1),$$
откуда
$$a\le -\frac13 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$
Кроме того, ветви параболы должны быть направлены вверх:
$$a>0.$$
Следовательно,
$$a\ge 1.$$
$$\left(a+4\right)x^2-2ax+2a-6<0$$
Чтобы неравенство не имело решений, парабола должна не пересекать ось абсцисс и быть направленной вверх.
Найдём дискриминант:
$$D=(-2a)^2-4(a+4)(2a-6)=4(-a^2-2a+24).$$
Требуем:
$$-a^2-2a+24\le 0,$$
то есть
$$a^2+2a-24\ge 0.$$
Решим:
$$a^2+2a-24=(a+6)(a-4),$$
значит
$$a\le -6 \quad \text{или} \quad a\ge 4.$$
Кроме того, ветви параболы должны быть направлены вверх:
$$a+4>0,$$
то есть
$$a>-4.$$
Следовательно,
$$a\ge 4.$$
Ответ
1) $$a\in[9;+\infty)$$
2) $$a\in[3;7]$$
3) $$a\in[1;+\infty)$$
4) $$a\in[4;+\infty)$$
