Упр.8.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) x^2-4x+a > 0; 3) (a-1)x^2-(a+1)x+a+1 > 0;
2) x^2+(a-1)x+1-a-a^2?0; 4) (a-3)x^2-2ax+3a-6 > 0?

Подробный ответ

$$x^2-4x+a>0$$
Чтобы неравенство выполнялось при всех действительных $$x$$, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось абсцисс:
$$D=16-4a=4(4-a)<0,$$
откуда $$a>4.$$
$$x^2+(a-1)x+1-a-a^2\ge 0$$
Здесь старший коэффициент положителен, значит нужно, чтобы дискриминант был не больше нуля:
$$D=(a-1)^2-4(1-a-a^2)=5a^2+2a-3\le 0.$$
Решим квадратное неравенство:
$$5a^2+2a-3=0,$$
$$D_1=2^2-4\cdot 5\cdot(-3)=64,$$
$$a_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{10},\quad a_1=-1,\ a_2=\frac35.$$
Тогда
$$-1\le a\le \frac35.$$
$$ (a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0 $$
Для выполнения при всех $$x$$ нужно, чтобы парабола была направлена вверх и не имела действительных корней.
Сначала найдём дискриминант:
$$D=(a+1)^2-4(a-1)(a+1)=-3a^2+2a+5.$$
Требуем
$$-3a^2+2a+5<0,$$
то есть
$$3a^2-2a-5>0.$$
Корни уравнения:
$$3a^2-2a-5=0,$$
$$D_1=4+60=64,$$
$$a_{1,2}=\frac{2\pm 8}{6},\quad a_1=-1,\ a_2=\frac53.$$
Значит,
$$a<-1 \ \text{или}\ a>\frac53.$$
Но старший коэффициент должен быть положительным:
$$a-1>0,\quad a>1.$$
Итак,
$$a>\frac53.$$
$$ (a-3)x^2-2ax+3a-6>0 $$
Найдём дискриминант:
$$D=(2a)^2-4(a-3)(3a-6)= -8a^2+60a-72.$$
Для отсутствия действительных корней нужно
$$-8a^2+60a-72<0,$$
или
$$2a^2-15a+18>0.$$
Решим уравнение:
$$2a^2-15a+18=0,$$
$$D_1=15^2-4\cdot 2\cdot 18=81,$$
$$a_{1,2}=\frac{15\pm 9}{4},\quad a_1=\frac32,\ a_2=6.$$
Тогда
$$a<\frac32 \ \text{или}\ a>6.$$
Старший коэффициент должен быть положительным:
$$a-3>0,\quad a>3.$$
Следовательно,
$$a>6.$$