Упр.8.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) |x^2+5x| < 6; 4) |x^2-3x|?x+5; 2) |x^2+3x| < x+4; 5) x|3x-1| < -2; 3) x^2-x-2 < |5x-3|; 6) x^2+|x-3|-9 < 0.

Подробный ответ

$$|x^2+5x|<6$$
Это равносильно системе:
$$ \begin{cases} x^2+5x<6,\\ x^2+5x>-6. \end{cases} $$
1) $$x^2+5x-6<0$$
$$ x^2+5x-6=(x+6)(x-1), $$
откуда $$-6<x<1.$$
2) $$x^2+5x+6>0$$
$$ x^2+5x+6=(x+3)(x+2), $$
откуда $$x<-3$$ или $$x>-2.$$
Пересекаем решения:
$$x\in(-6;-3)\cup(-2;1).$$
$$|x^2+3x|<x+4$$
Правая часть должна быть положительной:
$$x+4>0,\quad x>-4.$$
Далее:
$$ \begin{cases} x^2+3x<x+4,\\ x^2+3x>-x-4. \end{cases} $$
1) $$x^2+2x-4<0$$
$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt5, $$
значит
$$-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5.$$
2) $$x^2+4x+4>0$$
$$ (x+2)^2>0, $$
то есть $$x\ne-2.$$
С учётом $$x>-4$$ получаем:
$$x\in(-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5).$$
$$x^2-x-2<|5x-3|$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x\ge \frac35$$, то $$|5x-3|=5x-3$$ и
$$ x^2-x-2<5x-3, $$
$$ x^2-6x+1<0. $$
Корни:
$$ x=3\pm2\sqrt2. $$
Значит,
$$3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2.$$
С учётом $$x\ge \frac35$$ получаем тот же промежуток.
2) Если $$x<\frac35$$, то $$|5x-3|=3-5x$$ и
$$ x^2-x-2<3-5x, $$
$$ x^2+4x-5<0. $$
$$ (x+5)(x-1)<0, $$
откуда $$-5<x<1.$$
С учётом $$x<\frac35$$ получаем $$-5<x<\frac35.$$
Объединяя оба случая, имеем:
$$x\in(-5;3+2\sqrt2).$$
$$|x^2-3x|\ge x+5$$
Если $$x+5\le 0$$, то неравенство верно при любом $$x$$ из условия:
$$x\le -5.$$
Если $$x+5>0$$, то
$$ \begin{cases} x^2-3x\ge x+5,\\ x^2-3x\le -x-5. \end{cases} $$
1) $$x^2-4x-5\ge 0$$
$$ (x+1)(x-5)\ge 0, $$
откуда $$x\le -1$$ или $$x\ge 5.$$
2) $$x^2-2x+5\le 0$$
Дискриминант отрицателен, значит решений нет.
Итак,
$$x\in(-\infty;-1]\cup[5;+\infty).$$
$$x|3x-1|<-2$$
Левая часть неотрицательна при $$x\ge 0$$ и неположительна при $$x<0$$, но в любом случае не может быть меньше $$-2$$ для всех значений, кроме возможных отрицательных. Проверим случаи:
1) Если $$x\ge \frac13$$, то $$|3x-1|=3x-1$$ и
$$ x(3x-1)<-2, $$
$$ 3x^2-x+2<0. $$
Дискриминант:
$$D=1-24=-23<0,$$
решений нет.
2) Если $$x<\frac13$$, то $$|3x-1|=1-3x$$ и
$$ x(1-3x)<-2, $$
$$ 3x^2-x-2>0. $$
$$ (3x-2)(x+1)>0, $$
откуда $$x<-1$$ или $$x>\frac23.$$
С учётом $$x<\frac13$$ остаётся $$x<-1.$$
Но при $$x<-1$$ левая часть $$x|3x-1|$$ действительно меньше $$-2$$, поэтому
$$x\in(-\infty;-1).$$
$$x^2+|x-3|-9<0$$
1) Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$ и
$$ x^2+x-12<0, $$
$$ (x+4)(x-3)<0, $$
откуда $$-4<x<3.$$
С учётом $$x\ge 3$$ решений нет.
2) Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$ и
$$ x^2-x-6<0, $$
$$ (x+2)(x-3)<0, $$
откуда $$-2<x<3.$$
Это условие полностью подходит.
Следовательно,
$$x\in(-2;3).$$